Vocabulaire ensembliste et logique

Exercices — Vocabulaire ensembliste et logique

Algorithmique en seconde

Un algorithme décrit une suite d’instructions pour résoudre un problème. En seconde, on le rédige en langage naturel puis on le traduit en Python. On apprend à lire, modifier, compléter et tester un programme, en lien avec les autres chapitres (fonctions, arithmétique, statistiques). L’exigence d’exactitude et les pratiques de vérification font partie de la formation.

Variables et affectation

Une variable associe un nom à une valeur. L’affectation x = 3 stocke la valeur 3 dans x. Types usuels : entiers (int), flottants (float), booléens (bool), chaînes (str).

• x = x + 1 incrémente x (nouvelle valeur à partir de l’ancienne).
• Les opérations +, -, *, /, // (quotient entier), % (reste) sont fréquentes.

Exemple

a = 17
b = 5
q = a // b   # 3
r = a % b    # 2

Instructions conditionnelles

La structure if / elif / else permet d’exécuter des blocs selon une condition booléenne.

def maximum(a, b):
    if a >= b:
        return a
    else:
        return b

Boucle bornée for

La boucle for répète un bloc un nombre déterminé de fois. range(n) produit \( 0, 1, \ldots, n-1 \) ; range(a, b) produit \( a, a+1, \ldots, b-1 \).

Exemple : somme des n premiers entiers

s = 0
for i in range(1, n + 1):
    s = s + i
# s vaut 1 + 2 + … + n

Boucle non bornée while

La boucle while répète tant qu’une condition reste vraie. Il faut garantir que la condition finit par devenir fausse (sinon boucle infinie).

p = 1
while p <= 1000:
    p = 2 * p
# p vaut 1024

Listes (outil pratique)

Une liste stocke une suite ordonnée de valeurs : L = [3, 1, 4]. On accède à un élément par son indice (L[0] vaut 3). On peut parcourir une liste avec for x in L:. Les listes aident à stocker des séries de mesures ou des résultats d’expériences ; le programme n’exige pas une maîtrise approfondie des listes.

Fonctions Python

Une fonction regroupe des instructions réutilisables. Elle reçoit des paramètres et peut renvoyer une valeur avec return.

def carre(x):
    return x * x

# carre(5) renvoie 25

Tester et contrôler

Programmer impose exactitude et rigueur : vérifier sur plusieurs jeux de données, y compris les cas limites (0, valeurs négatives, listes vides). On peut afficher des valeurs intermédiaires avec print pour comprendre le déroulement.

Simuler une fluctuation d’échantillonnage

On simule \( n \) épreuves de Bernoulli de paramètre \( p \), on calcule la fréquence de succès, on répète pour voir la variabilité.

from random import random

def frequence(n, p):
    succes = 0
    for _ in range(n):
        if random() < p:
            succes = succes + 1
    return succes / n

# Exemple : 20 fréquences pour n=100, p=0.5
echantillons = [frequence(100, 0.5) for _ in range(20)]

Exercices — Algorithmique et programmation

Entiers naturels et relatifs

On note \( \mathbb{N} \) l’ensemble des entiers naturels et \( \mathbb{Z} \) celui des entiers relatifs. Les notions de multiple, diviseur, pair et impair structurent l’arithmétique de seconde. Elles permettent de modéliser des problèmes de partage, de calendrier ou de parité.

• \( a \) est multiple de \( b \) s’il existe un entier \( k \) tel que \( a = kb \).
• On dit aussi que \( b \) divise \( a \), noté \( b \mid a \).
• \( n \) est pair s’il existe \( k \) avec \( n = 2k \) ; impair s’il existe \( k \) avec \( n = 2k+1 \).

Exemple

12 est multiple de 3 car \( 12 = 3 \times 4 \). Les diviseurs positifs de 12 sont 1, 2, 3, 4, 6 et 12.

Divisibilité

Si \( b \mid a \) et \( b \mid c \), alors \( b \) divise toute combinaison \( ua + vc \) (en particulier \( a+c \) et \( a-c \)). Cette propriété sert dans de nombreuses démonstrations (somme de multiples, etc.).

Division euclidienne

Pour \( a \in \mathbb{Z} \) et \( b > 0 \), il existe un unique couple d’entiers \( (q, r) \) tel que \( a = bq + r \) avec \( 0 \leqslant r < b \). \( q \) est le quotient, \( r \) le reste. \( a \) est divisible par \( b \) si et seulement si \( r = 0 \).

Exemple numérique

Division de 157 par 12 : \( 157 = 12 \times 13 + 1 \), donc \( q = 13 \) et \( r = 1 \).

PGCD

Le PGCD de deux entiers non nuls est leur plus grand diviseur commun. Si \( \mathrm{PGCD}(a, b) = 1 \), on dit que \( a \) et \( b \) sont premiers entre eux.

Algorithme d’Euclide

Pour calculer \( \mathrm{PGCD}(a, b) \) avec \( a \geqslant b > 0 \) : on remplace \( (a, b) \) par \( (b, r) \) où \( r \) est le reste de la division de \( a \) par \( b \), jusqu’à obtenir un reste nul. Le dernier reste non nul est le PGCD.

252 = 105 × 2 + 42
105 = 42 × 2 + 21
42 = 21 × 2 + 0
→ PGCD(252, 105) = 21

Fractions irréductibles

Une fraction \( \dfrac{a}{b} \) (avec \( b \neq 0 \)) est irréductible lorsque \( \mathrm{PGCD}(a, b) = 1 \). Pour simplifier, on divise numérateur et dénominateur par leur PGCD.

Exemple

\( \dfrac{42}{56} \) : \( \mathrm{PGCD}(42, 56) = 14 \), donc forme irréductible \( \dfrac{3}{4} \).

Nombres premiers et décomposition

Un entier \( n \geqslant 2 \) est premier s’il a exactement deux diviseurs positifs : 1 et \( n \). Tout entier \( n \geqslant 2 \) admet une décomposition en produit de facteurs premiers, unique à l’ordre près des facteurs.

Exemple

\( 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 \). On peut en déduire PGCD et PPCM via les exposants minimaux / maximaux.

Démonstration type

Montrons que le carré d’un entier impair est impair. Si \( n = 2k+1 \), alors \( n^2 = 4k^2 + 4k + 1 = 2(2k^2+2k) + 1 \), donc \( n^2 \) est impair.

Exercices — Arithmétique

L’ensemble \( \mathbb{R} \)

Les nombres réels sont représentés par les points d’une droite graduée. On a les inclusions \( \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \). Les décimaux \( \mathbb{D} \) sont les rationnels s’écrivant avec un dénominateur puissance de 10. Savoir placer un réel et lire une abscisse sur une droite graduée reste un automatisme essentiel.

Intervalles

Un intervalle est un ensemble de réels vérifiant des inégalités. Crochet fermé : borne incluse ; ouvert : borne exclue.

Valeur absolue et distance

La valeur absolue \( |a| \) est la distance de \( a \) à 0 sur la droite. La distance entre deux réels \( x \) et \( a \) est \( |x - a| \).

• \( |x| \geqslant 0 \) pour tout réel \( x \), et \( |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 \).
• L’inéquation \( |x - a| \leqslant r \) (avec \( r \geqslant 0 \)) a pour solutions l’intervalle \( [a-r, a+r] \).

Exemple

\( |x - 3| \leqslant 2 \) ⇔ \( 1 \leqslant x \leqslant 5 \) ⇔ \( x \in [1, 5] \).

Racines carrées

Pour \( a \geqslant 0 \), \( \sqrt{a} \) est l’unique réel positif dont le carré vaut \( a \). On a \( \sqrt{a^2} = |a| \) pour tout réel \( a \). Identité utile : pour \( a \geqslant 0 \) et \( b \geqslant 0 \), \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \).

Rationnels et irrationnels

Un nombre est rationnel s’il s’écrit \( \dfrac{p}{q} \) avec \( p \in \mathbb{Z} \) et \( q \in \mathbb{N}^* \). Un réel non rationnel est irrationnel. Exemples classiques issus de la géométrie : \( \sqrt{2} \) (diagonale du carré unité) et \( \pi \) (cercle).

• Tout décimal est rationnel ; la réciproque est fausse (\( \dfrac{1}{3} = 0,333\ldots \)).
• \( \sqrt{2} \) n’est pas rationnel (résultat admis ou démontré selon le niveau de la classe).

Encadrements décimaux

On encadre un réel par des décimaux à \( 10^{-n} \) près : on cherche \( d \) décimal tel que \( d \leqslant x < d + 10^{-n} \) (ou un encadrement d’amplitude fixée).

Exemple

Sachant \( 1,414 \leqslant \sqrt{2} < 1,415 \), on a un encadrement de \( \sqrt{2} \) à \( 10^{-3} \) près. L’amplitude est \( 0,001 \).

Approximation et arrondi

Dans un problème, on arrondit en donnant un nombre de chiffres significatifs adapté au contexte (mesure, estimation). On distingue troncature et arrondi au plus proche ; on précise toujours le sens de l’approximation (par défaut, par excès, à \( 10^{-n} \) près).

Appartenance à un intervalle

Pour décider si un réel appartient à un intervalle, on compare aux bornes en respectant ouverts/fermés. Exemple : \( -2 \in ]-\infty, -2] \) est vrai, mais \( -2 \notin ]-\infty, -2[ \).

Exercices — Nombres réels

Calcul littéral et puissances

On manipule des expressions algébriques avec les règles sur les puissances entières relatives et les racines carrées. En particulier \( \sqrt{a^2} = |a| \). On choisit la forme la plus adaptée (développée ou factorisée) selon l’objectif : résoudre, comparer, ou étudier un signe.

• \( a^m \times a^n = a^{m+n} \) ; \( (a^m)^n = a^{mn} \) ; \( a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \) si \( a \neq 0 \).
• Pour \( a \geqslant 0 \), \( b \geqslant 0 \) : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \).

On rencontre aussi des expressions fractionnaires simples ; on réduit au même dénominateur avant d’additionner.

Développement

Développer, c’est transformer un produit en somme. On utilise la distributivité : \( k(a+b) = ka + kb \) et \( (a+b)(c+d) = ac + ad + bc + bd \).

Exemple

\( (2x+3)(x-4) = 2x\cdot x + 2x\cdot(-4) + 3\cdot x + 3\cdot(-4) = 2x^2 - 8x + 3x - 12 = 2x^2 - 5x - 12 \).

Identités remarquables

Factorisation

Factoriser, c’est écrire une somme comme produit. Méthodes : facteur commun, identités remarquables, reconnaissance de \( a^2 - b^2 \).

Exemple

\( x^2 - 9 = (x-3)(x+3) \) ; \( 3x^2 + 6x = 3x(x+2) \).

Équations du premier degré

Résoudre \( ax + b = cx + d \), c’est trouver tous les réels \( x \) qui rendent l’égalité vraie. On isole l’inconnue par opérations équivalentes (ajouter un même réel, multiplier par un réel non nul).

Exemple

\( 3x - 5 = x + 7 \) ⇔ \( 3x - x = 7 + 5 \) ⇔ \( 2x = 12 \) ⇔ \( x = 6 \). Ensemble des solutions : \( \{6\} \).

Inéquations

Pour \( ax + b > 0 \) (ou \( \geqslant \), \( < \), \( \leqslant \)), on isole \( x \) en veillant au sens de l’inégalité : multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens. L’ensemble des solutions est en général un intervalle.

Exemple

\( -2x + 4 \leqslant 0 \) ⇔ \( -2x \leqslant -4 \) ⇔ \( x \geqslant 2 \) (division par −2), donc \( x \in [2, +\infty[ \).

Équation produit nul et quotients

Un produit est nul si et seulement si l’un des facteurs est nul : \( A(x)B(x) = 0 \) ⇔ \( A(x) = 0 \) ou \( B(x) = 0 \). Pour une équation quotient \( \dfrac{A(x)}{B(x)} = k \), on se ramène à \( A(x) - k B(x) = 0 \) en excluant les valeurs qui annulent \( B(x) \).

Signe d’un produit ou d’un quotient

Pour étudier le signe de \( A(x)B(x) \) ou \( \dfrac{A(x)}{B(x)} \), on dresse un tableau de signes (ligne par facteur, puis produit/quotient). Lien direct avec les fonctions et la résolution de \( f(x) > 0 \).

Équation \( x^2 = a \)

Si \( a > 0 \), les solutions sont \( x = \sqrt{a} \) et \( x = -\sqrt{a} \). Si \( a = 0 \), seule solution \( x = 0 \). Si \( a < 0 \), aucune solution réelle.

Exercices — Algèbre

Notion de vecteur

Un vecteur \( \vec{u} \) est caractérisé par une direction, un sens et une longueur (sa norme). Deux vecteurs sont égaux s’ils ont même direction, même sens et même norme. Un même vecteur admet une infinité de représentants (flèches équipollentes). Le vecteur nul \( \vec{0} \) a une norme nulle. Les vecteurs servent à démontrer en géométrie et à modéliser des déplacements (lien avec la physique).

Relation de Chasles et opérations

Pour tous points A, B, C : \( \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} \) (relation de Chasles). On définit aussi \( \overrightarrow{BA} = -\overrightarrow{AB} \) et le produit \( k\vec{u} \) (même direction, sens selon le signe de \( k \), norme \( |k|\,\|\vec{u}\| \)).

• Somme : placer bout à bout deux représentants, ou règle du parallélogramme.
• En physique, \( \overrightarrow{AB} \) peut être vu comme un déplacement de A vers B.

Coordonnées dans un repère

Dans un repère orthonormé \( (O ; \vec{\imath}, \vec{\jmath}) \), si \( A(x_A ; y_A) \) et \( B(x_B ; y_B) \), alors \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix} \). Si \( \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) et \( \vec{v}\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} \), alors \( \vec{u}+\vec{v}\begin{pmatrix} x+x' \\ y+y' \end{pmatrix} \) et \( k\vec{u}\begin{pmatrix} kx \\ ky \end{pmatrix} \).

Exemple numérique

A(1 ; 2), B(4 ; −1) : \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \).

Norme et distance

La norme de \( \vec{u}\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \) est \( \|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2} \). La distance AB vaut \( \|\overrightarrow{AB}\| \).

Exemple

Avec \( \overrightarrow{AB}\begin{pmatrix} 3 \\ -3 \end{pmatrix} \), \( AB = \sqrt{9+9} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \).

Colinéarité

Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’il existe un réel \( k \) tel que \( \vec{u} = k\vec{v} \) (proportionnalité des coordonnées). Critère par le déterminant : \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires ⇔ \( xy' - yx' = 0 \).

Milieu d’un segment

Le milieu I de [AB] vérifie \( \overrightarrow{AI} = \overrightarrow{IB} \), ou encore \( \overrightarrow{OI} = \dfrac{\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}}{2} \). En coordonnées : \( I\left(\dfrac{x_A+x_B}{2} ; \dfrac{y_A+y_B}{2}\right) \).

Translations

La translation de vecteur \( \vec{u} \) envoie tout point M sur le point M′ tel que \( \overrightarrow{MM'} = \vec{u} \). Composer deux translations de vecteurs \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) revient à la translation de vecteur \( \vec{u}+\vec{v} \) (lien avec Chasles).

Parallélisme

Deux droites sont parallèles si des vecteurs directeurs sont colinéaires. L’outil vectoriel unifie alignement, parallélisme et calculs dans le plan.

Exercices — Vecteurs et géométrie

Droites du plan

Une droite du plan peut être donnée par deux points, par un point et un vecteur directeur, ou par une équation. On relie représentation géométrique, algébrique et (quand c’est pertinent) fonctionnelle \( y = mx + p \).

Vecteur directeur

Un vecteur \( \vec{u} \neq \vec{0} \) est directeur d’une droite \( d \) s’il existe deux points distincts A, B de \( d \) tels que \( \overrightarrow{AB} = \vec{u} \) (ou un multiple). Tous les vecteurs directeurs d’une même droite sont colinéaires.

Équation cartésienne

Toute droite admet une équation de la forme \( ax + by + c = 0 \) avec \( (a, b) \neq (0, 0) \). Un vecteur directeur est alors \( \vec{u}\begin{pmatrix} -b \\ a \end{pmatrix} \) (ou tout multiple non nul).

Exemple

La droite \( 2x - y + 3 = 0 \) admet \( \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \) comme vecteur directeur. Le point A(−1 ; 1) appartient à la droite car \( 2(-1) - 1 + 3 = 0 \).

Équation réduite et coefficient directeur

Si la droite n’est pas verticale, on peut écrire \( y = mx + p \). Le nombre \( m \) est le coefficient directeur (ou pente) ; \( p \) est l’ordonnée à l’origine. Un vecteur directeur est \( \vec{u}\begin{pmatrix} 1 \\ m \end{pmatrix} \).

Déterminer une équation

À partir de deux points A et B : calculer \( m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} \) si \( x_A \neq x_B \), puis écrire \( y - y_A = m(x - x_A) \). À partir d’un point et d’une pente : même formule. À partir d’un point et d’un vecteur directeur : colinéarité \( \overrightarrow{AM} \) avec \( \vec{u} \).

Exemple numérique

A(1 ; 2), B(3 ; 6) : \( m = \dfrac{6-2}{3-1} = 2 \), donc \( y - 2 = 2(x - 1) \), soit \( y = 2x \).

Parallélisme et orthogonalité

Deux droites sont parallèles si et seulement si des vecteurs directeurs sont colinéaires (mêmes pentes si elles ont une équation réduite). Dans un repère orthonormé, elles sont orthogonales si le produit des pentes vaut \( -1 \) (quand les deux pentes existent), ou via le produit scalaire des vecteurs directeurs (hors programme formel, mais utile : \( xx' + yy' = 0 \)).

Appartenance et alignement

Un point M\( (x_0 ; y_0) \) appartient à la droite d’équation \( ax + by + c = 0 \) si et seulement si \( ax_0 + by_0 + c = 0 \). Trois points sont alignés si un vecteur \( \overrightarrow{AB} \) est colinéaire à \( \overrightarrow{AC} \), ou si B vérifie l’équation de la droite (AC).

Intersection de deux droites

Pour deux droites sécantes données par des équations réduites, on résout le système des deux équations. Si les pentes sont égales et les ordonnées à l’origine différentes, les droites sont parallèles strictes (pas d’intersection). Si les équations sont proportionnelles, les droites sont confondues.

Exercices — Droites du plan

Définition d’une fonction

Une fonction \( f \) définie sur un ensemble \( D_f \) (ensemble de définition) associe à chaque réel \( x \in D_f \) au plus une image \( f(x) \). On note \( f : x \mapsto f(x) \). \( D_f \) est souvent un intervalle ou une réunion d’intervalles de \( \mathbb{R} \).

Image et antécédent

Si \( y = f(x) \), on dit que \( y \) est l’image de \( x \) et que \( x \) est un antécédent de \( y \). Une valeur peut avoir plusieurs antécédents, ou aucun.

Exemple

Pour \( f(x) = x^2 \), l’image de \( -3 \) est \( 9 \) ; les antécédents de \( 9 \) sont \( -3 \) et \( 3 \).

Courbe représentative

La courbe \( \mathcal{C}_f \) d’équation \( y = f(x) \) est l’ensemble des points \( M(x ; f(x)) \) du plan. Un point \( (x_0 ; y_0) \) appartient à \( \mathcal{C}_f \) si et seulement si \( y_0 = f(x_0) \).

• Résoudre \( f(x) = k \) : intersections de \( \mathcal{C}_f \) avec la droite \( y = k \).
• Trois registres liés : expression algébrique, tableau de valeurs, courbe.

Variations et extrémums

\( f \) est croissante sur un intervalle I si pour tous \( a < b \) dans I, \( f(a) \leqslant f(b) \) (strictement croissante si \( < \)). Elle est décroissante si les inégalités sont inversées. Un maximum (resp. minimum) sur I est la plus grande (resp. plus petite) valeur atteinte.

Fonction affine

\( f(x) = mx + p \). Sa courbe est une droite de coefficient directeur \( m \) et d’ordonnée à l’origine \( p \). \( f \) est croissante si \( m > 0 \), décroissante si \( m < 0 \), constante si \( m = 0 \). Le signe de \( f \) se lit via la racine \( -\dfrac{p}{m} \) (si \( m \neq 0 \)).

Fonction carré

\( f(x) = x^2 \) sur \( \mathbb{R} \). Courbe : parabole. Décroissante sur \( ]-\infty, 0] \), croissante sur \( [0, +\infty[ \). Minimum 0 en \( x = 0 \). \( f(x) \geqslant 0 \) pour tout \( x \).

Fonction inverse

\( f(x) = \dfrac{1}{x} \) sur \( \mathbb{R}^* \). Courbe en deux branches. Décroissante sur \( ]-\infty, 0[ \) et sur \( ]0, +\infty[ \) (séparément). Pas de sens de variation global sur \( \mathbb{R}^* \).

Fonction racine carrée

\( f(x) = \sqrt{x} \) sur \( [0, +\infty[ \). Croissante. \( f(0) = 0 \). Courbe « moitié » de parabole couchée. Pour comparer \( \sqrt{a} \) et \( \sqrt{b} \) avec \( a, b \geqslant 0 \), on peut comparer \( a \) et \( b \).

Résoudre \( f(x) = k \) ou \( f(x) > k \)

Selon les cas : lecture graphique, résolution algébrique, outil numérique. Pour un produit ou un quotient, le tableau de signes est adapté.

Exercices — Fonctions

Proportions et pourcentages

Une proportion compare une partie à un tout : \( p=\dfrac{n_A}{n} \). En pourcentage : \( 100p\,\% \).

• Effectif de A : \( n_A \) ; fréquence : \( f_A=\dfrac{n_A}{n} \).
• Pourcentage de pourcentage : si 40 % des élèves sont des filles et que 25 % des filles font du sport, la proportion de filles sportives dans la classe est \( 0{,}40\times 0{,}25=0{,}10 \) soit 10 %.

Exemple

Sur 200 élèves, 30 % ont une option langues. Parmi eux, 40 % font allemand. Nombre d’élèves en allemand : \( 200\times 0{,}30\times 0{,}40=24 \).

Évolution d’une grandeur

On passe d’une valeur initiale \( V_1 \) à une valeur finale \( V_2 \).

• Variation absolue : \( V_2-V_1 \).
• Coefficient multiplicateur : \( CM=\dfrac{V_2}{V_1} \).
• Taux d’évolution : \( t=\dfrac{V_2-V_1}{V_1}=CM-1 \).

Exemple

Un prix passe de 80 € à 100 € : \( CM=\dfrac{100}{80}=1{,}25 \) et \( t=0{,}25 \) soit +25 %.

Évolutions successives : les coefficients se multiplient. Hausse de 10 % puis baisse de 10 % : \( CM=1{,}1\times 0{,}9=0{,}99 \) (baisse globale de 1 %, pas un retour au départ).

Évolution réciproque : pour annuler un coefficient \( CM \), on multiplie par \( \dfrac{1}{CM} \). Après +25 %, il faut une baisse de 20 % pour revenir au prix initial (\( 1/1{,}25=0{,}8 \)).

Indicateurs d’une série quantitative

Pour une série \( x_1,\ldots,x_n \) (éventuellement avec effectifs) :

• Moyenne : \( \bar x=\dfrac{1}{n}\sum x_i \) (ou moyenne pondérée par les effectifs).
• Linéarité : si \( y_i=ax_i+b \), alors \( \bar y=a\bar x+b \).
• Médiane : valeur qui partage la série ordonnée en deux moitiés.
• Quartiles \( Q_1 \) et \( Q_3 \) : environ 25 % / 75 % des valeurs en dessous.
• Étendue : \( \max-\min \) ; écart interquartile : \( Q_3-Q_1 \).

Exemple

Série : 2, 5, 5, 7, 9. Moyenne \( \bar x=\dfrac{28}{5}=5{,}6 \). Médiane = 5. Étendue = 7.

Ajouter une valeur extrême (par ex. 40) tire fortement la moyenne, peu la médiane : d’où le choix du couple d’indicateurs.

Écart type

L’écart type \( \sigma \) mesure la dispersion autour de la moyenne. Intuitivement : plus les valeurs s’écartent de \( \bar x \), plus \( \sigma \) est grand.

• On compare souvent les couples moyenne–écart type et médiane–écart interquartile.
• La boîte à moustaches visualise médiane, quartiles et extrêmes (ou moustaches selon la convention).

Regroupement par classes

Pour une variable continue, on regroupe en classes de même amplitude. On utilise alors :

• Histogramme : aires proportionnelles aux effectifs (ou fréquences).
• Moyenne approchée : moyenne pondérée des centres de classes (hypothèse de répartition uniforme dans chaque classe).
• Classe médiane : première classe dont la fréquence cumulée atteint 50 % ; on peut estimer la médiane par interpolation linéaire.
• Polygone des fréquences cumulées pour lire des quantiles.

Exemple

Moyenne approchée : \( \bar x\approx\dfrac{8\times 15+12\times 25+5\times 35}{25}=\dfrac{120+300+175}{25}=\dfrac{595}{25}=23{,}8 \).

Croisement de deux variables qualitatives

Un tableau croisé d’effectifs croise deux caractères (ex. sexe × pratique sportive).

• Fréquence marginale « fille » : \( 40/80=0{,}5 \).
• Fréquence conditionnelle « sport sachant fille » : \( \dfrac{15}{40}=0{,}375 \) (37,5 %).
• Formule : fréquence de A sachant B = \( \dfrac{n(A\cap B)}{n(B)} \).

Comparer deux séries

On s’appuie sur des indicateurs et des graphiques (boîtes à moustaches, histogrammes) pour décrire différences de position et de dispersion, sans surinterpréter.

Fluctuation d’échantillonnage

Quand on tire un échantillon de taille \( n \) dans une population où une proportion (ou probabilité) vaut \( p \), la fréquence observée \( f \) varie d’un échantillon à l’autre : c’est la fluctuation d’échantillonnage.

• Pour \( n \) grand, \( f \) se concentre autour de \( p \) (lien avec la loi des grands nombres).
• On observe cette fluctuation par simulation (Python / tableur) : répéter des tirages, calculer des fréquences.
• Intervalle de fluctuation (idée) : la plupart des fréquences tombent dans une zone autour de \( p \) dont la largeur diminue quand \( n \) augmente.

Exercices — Statistiques

Loi des grands nombres (version vulgarisée)

« Lorsque \( n \) est grand, sauf exception, la fréquence observée d’un événement est proche de sa probabilité. »

On peut l’observer par simulation (Python ou tableur) : répétitions d’épreuves indépendantes, stabilisation des fréquences.

Rappels de calcul

• Événement contraire : \( P(\overline{A})=1-P(A) \).
• Si A et B incompatibles : \( P(A\cup B)=P(A)+P(B) \).
• Cas général : \( P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B) \).
• Équiprobabilité : \( P(A)=\dfrac{\mathrm{Card}(A)}{\mathrm{Card}(\Omega)} \).

Exemple

Dé équilibré : \( P(\text{multiple de 3})=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} \) (issues 3 et 6).

Probabilité conditionnelle

Si \( P(A)\neq 0 \), la probabilité de B sachant A est :

\[ P_A(B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)} \]

On en déduit \( P(A\cap B)=P(A)\times P_A(B) \) (formule des probabilités composées).

Lien avec les statistiques

Tirage équiprobable dans une population : \( P(A)=\dfrac{n(A)}{n} \) et \( P_B(A)=\dfrac{n(A\cap B)}{n(B)} \) — même formule que la fréquence conditionnelle.

Arbres de probabilité

Un arbre pondéré représente des épreuves successives :

• Sur chaque nœud, la somme des probabilités des branches sortantes vaut 1.
• Le long d’un chemin : on multiplie les probabilités des branches (souvent des conditionnelles).
• Pour un événement réalisé par plusieurs chemins : on additionne les probabilités de ces chemins.

Exemple

Urne : 3 rouges, 2 bleues. On tire deux boules successivement sans remise.

Probabilité d’obtenir deux couleurs différentes : \( \dfrac{3}{10}+\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5} \).

Tableau croisé et conditionnelles

Avec un tableau d’effectifs (population, tirage au hasard), on calcule des probabilités conditionnelles comme des fréquences conditionnelles.

Exemple (faux positifs — idée)

Un test médical rare peut avoir beaucoup de faux positifs : \( P(\text{malade}|\text{test +}) \) n’est pas égal à \( P(\text{test +}|\text{malade}) \). L’arbre ou le tableau clarifie l’inversion.

Méthode

1. Définir clairement \( \Omega \) et les événements.
2. Choisir le registre : tableau, arbre, formules.
3. Écrire les pondérations (dont conditionnelles) sur les branches.
4. Multiplier sur un chemin, additionner les chemins utiles.
5. Vérifier qu’une somme de branches issues d’un nœud vaut 1.

Exercices — Probabilités