Combinatoire et dénombrement

Exercices — Combinatoire et dénombrement

Exercice 1

Combien d’anagrammes distincts du mot MATH (lettres distinctes) ?

Correction

4! = 24.

Exercice 2

Calcule C₁₀³.

Correction

C₁₀³ = 120.

Exercice 3

Nombre de façons de choisir un comité de 3 parmi 12.

Correction

C₁₂³ = 220.

Exercice 4

A₅² = ?

Correction

5×4 = 20.

Points et vecteurs dans l’espace

Dans un repère orthonormé \( (O;\vec{\imath},\vec{\jmath},\vec{k}) \), un point \( M \) a des coordonnées \( (x;y;z) \) et un vecteur \( \vec{u} \) s’écrit \( \vec{u}=x\vec{\imath}+y\vec{\jmath}+z\vec{k} \).

• \( \overrightarrow{AB}=(x_B-x_A;\,y_B-y_A;\,z_B-z_A) \).
• Norme : \( \|\vec{u}\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2} \) ; distance \( AB=\|\overrightarrow{AB}\| \).
• Colinéarité : \( \vec{u} \) et \( \vec{v} \) colinéaires \( \Leftrightarrow \) il existe \( k \) tel que \( \vec{v}=k\vec{u} \).

Exemple

\( A(1;0;2) \), \( B(4;3;2) \) : \( \overrightarrow{AB}=(3;3;0) \) et \( AB=\sqrt{18}=3\sqrt{2} \).

Produit scalaire dans l’espace

Pour \( \vec{u}=(x;y;z) \) et \( \vec{v}=(x';y';z') \) :

\( \vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\cos\theta \).

• Bilinéaire, symétrique ; \( \vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2 \).
• \( \|\vec{u}+\vec{v}\|^2=\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v} \).

Orthogonalité

Deux droites de l’espace sont orthogonales si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux (elles peuvent être non coplanaires). Une droite est orthogonale à un plan si elle est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan (équivaut à être colinéaire à un vecteur normal du plan).

Exemple

\( \vec{u}=(1;2;-1) \) et \( \vec{v}=(2;-1;0) \) : \( \vec{u}\cdot\vec{v}=2-2+0=0 \), donc orthogonaux.

Droites de l’espace

Une droite passant par \( A \) et de vecteur directeur \( \vec{u}=(a;b;c) \) admet une représentation paramétrique :

\( \begin{cases} x=x_A+at\\ y=y_A+bt\\ z=z_A+ct\end{cases},\quad t\in\mathbb{R} \).

• Deux droites sont parallèles si leurs directeurs sont colinéaires.
• Sinon elles sont sécantes, non coplanaires, ou orthogonales selon les cas — on étudie systèmes et produit scalaire.

Plans et équations cartésiennes

Un plan de vecteur normal \( \vec{n}=(a;b;c) \) passant par \( A(x_0;y_0;z_0) \) a pour équation :

\( a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0 \), soit \( ax+by+cz+d=0 \).

Positions relatives

• Droite / plan : si \( \vec{u}\cdot\vec{n}=0 \), la droite est parallèle au plan (incluse ou stricte) ; sinon une unique intersection.
• Deux plans : normales colinéaires ⇒ parallèles (ou confondus) ; sinon sécants selon une droite.
• Plans perpendiculaires : \( \vec{n}_1\cdot\vec{n}_2=0 \).

Exemple

Plans \( x+y+z=1 \) et \( 2x+2y+2z=3 \) : normales colinéaires, constantes incompatibles ⇒ parallèles distincts.

Distance d’un point à un plan

Distance de \( M_0(x_0;y_0;z_0) \) au plan \( ax+by+cz+d=0 \) :

\( d=\dfrac{|ax_0+by_0+cz_0+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}} \).

Exemple

Distance de \( O \) au plan \( x+2y+2z-6=0 \) : \( d=\dfrac{6}{\sqrt{1+4+4}}=2 \).

Méthode type bac

• Traduire la figure en vecteurs et coordonnées.
• Orthogonalité ↔ produit scalaire nul ; appartenance ↔ équation vérifiée.
• Intersection droite/plan : injecter la paramétrique dans l’équation du plan, résoudre en \( t \).

Exercices — Géométrie dans l’espace

Limite finie d’une suite

On dit que \( (u_n) \) converge vers \( \ell\in\mathbb{R} \) si les termes deviennent aussi proches que l’on veut de \( \ell \) pour \( n \) assez grand. On note \( \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \).

Exemple

\( u_n=\dfrac{n}{n+1} \) : en factorisant, \( u_n=\dfrac{1}{1+1/n}\to 1 \).

Divergence vers \( \pm\infty \)

\( u_n\to+\infty \) signifie que \( u_n \) dépasse tout seuil \( A \) pour \( n \) assez grand (idem \( -\infty \)).

Suites géométriques et limites

Pour \( q\in\mathbb{R} \) et \( u_n=q^n \) :

• si \( |q|<1 \), alors \( q^n\to 0 \) ;
• si \( q=1 \), alors \( q^n\to 1 \) ;
• si \( q>1 \), alors \( q^n\to+\infty \) ;
• si \( q\leqslant -1 \), la suite diverge (en général pas de limite).

Théorèmes de comparaison et d’encadrement

• Comparaison : si \( 0\leqslant u_n\leqslant v_n \) et \( v_n\to 0 \), alors \( u_n\to 0 \) ; si \( u_n\geqslant v_n \) et \( v_n\to+\infty \), alors \( u_n\to+\infty \).
• Encadrement (gendarmes) : si \( v_n\leqslant u_n\leqslant w_n \) et \( v_n\to\ell \), \( w_n\to\ell \), alors \( u_n\to\ell \).

Exemple

\( -\dfrac{1}{n}\leqslant\dfrac{\sin n}{n}\leqslant\dfrac{1}{n} \) ⇒ \( \dfrac{\sin n}{n}\to 0 \) par encadrement.

Monotonie et convergence

Théorème fondamental :

• toute suite croissante majorée converge ;
• toute suite décroissante minorée converge ;
• toute suite croissante non majorée tend vers \( +\infty \).

Suites récurrentes \( u_{n+1}=f(u_n) \)

Si \( (u_n) \) converge vers \( L \) et si \( f \) est continue en \( L \), alors \( L=f(L) \) : \( L \) est un point fixe de \( f \).

Exemple

\( u_0=0 \), \( u_{n+1}=\sqrt{u_n+2} \). Si convergence vers \( L\geqslant 0 \) : \( L=\sqrt{L+2} \) ⇒ \( L^2=L+2 \) ⇒ \( L=2 \) (car \( L\geqslant 0 \)).

En pratique : on étudie le sens de variation (souvent par récurrence), on majore/minore, puis on conclut et on calcule \( L \).

Opérations et formes indéterminées

Si \( u_n\to\ell \) et \( v_n\to\ell' \), alors somme, produit, quotient (si \( \ell'\neq 0 \)) se comportent bien. Attention aux formes indéterminées : \( +\infty-\infty \), \( 0\times\infty \), \( \infty/\infty \), \( 0/0 \).

Pour les quotients de polynômes en \( n \), on factorise par le terme de plus haut degré.

Lire le comportement asymptotique

• Comparer à des suites de référence : \( n^\alpha \), \( q^n \), \( \ln n \) (via fonctions).
• Une suite bornée n’est pas forcément convergente (ex. \( (-1)^n \)).
• Convergence ⇒ bornée ; la réciproque est fausse.

Exercices — Suites et limites

Définition du logarithme népérien

La fonction \( \ln \) est définie sur \( ]0;+\infty[ \) comme la primitive de \( x\mapsto\dfrac{1}{x} \) qui s’annule en 1 : \( \ln 1=0 \) et \( \ln'(x)=\dfrac{1}{x} \).

C’est la bijection réciproque de la fonction exponentielle : pour \( x>0 \) et \( y\in\mathbb{R} \),

\( \ln x=y\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^y \).

Propriétés algébriques

Pour \( x>0 \), \( y>0 \) et \( a\in\mathbb{R} \) :

• \( \ln(xy)=\ln x+\ln y \) ;
• \( \ln\!\left(\dfrac{x}{y}\right)=\ln x-\ln y \) ;
• \( \ln(x^a)=a\ln x \) ; en particulier \( \ln\!\left(\dfrac{1}{x}\right)=-\ln x \).

Exemple

\( \ln 12-\ln 3+\ln 2=\ln\!\left(\dfrac{12}{3}\times 2\right)=\ln 8=3\ln 2 \).

Variations et limites

\( \ln \) est strictement croissante sur \( ]0;+\infty[ \) car \( \ln'>0 \). Tableau de limites usuelles :

La croissance de \( \ln \) est lente devant toute puissance positive de \( x \).

Dérivée et composition

Si \( u \) est dérivable et \( u>0 \), alors \( (\ln u)'=\dfrac{u'}{u} \).

Exemples

• \( f(x)=\ln(3x+1) \) ⇒ \( f'(x)=\dfrac{3}{3x+1} \) (sur \( x>-1/3 \)).
• \( g(x)=\ln(x^2+1) \) ⇒ \( g'(x)=\dfrac{2x}{x^2+1} \).

Équations et inéquations

• \( \ln x=\ln a\Leftrightarrow x=a \) (avec \( a>0 \)).
• \( \ln x=k\Leftrightarrow x=\mathrm{e}^k \).
• Comme \( \ln \) est croissante : \( \ln x<\ln a\Leftrightarrow 0<x<a \).

Exemple

\( \mathrm{e}^{2x}=5\Leftrightarrow 2x=\ln 5\Leftrightarrow x=\dfrac{\ln 5}{2} \).

Lien avec l’exponentielle

Les courbes de \( \exp \) et \( \ln \) sont symétriques par rapport à la droite \( y=x \). Les équations se traduisent souvent de l’une à l’autre :

\( \mathrm{e}^{u}=v\Leftrightarrow u=\ln v \) (si \( v>0 \)).

On utilise aussi \( a^x=\mathrm{e}^{x\ln a} \) pour \( a>0 \).

Étude de fonctions avec \( \ln \)

Méthode classique : domaine (produits/quotients/composées > 0), dérivée via \( u'/u \), signe de \( f' \), limites aux bornes, tableau de variations, éventuellement asymptotes.

Exemple d’idée

Pour \( f(x)=x-\ln x \) sur \( ]0;+\infty[ \) : \( f'(x)=1-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x-1}{x} \), minimum en \( x=1 \), \( f(1)=1 \).

Croissance lente : à retenir pour les limites

Face à une forme \( \dfrac{\ln x}{x^\alpha} \) (\( \alpha>0 \)) ou \( x^\alpha\ln x \) en \( 0^+ \), penser aux limites de référence du programme : le logarithme « perd » contre les puissances.

Exercices — Fonction logarithme

Rappels : cosinus et sinus

Sur le cercle trigonométrique, \( \cos\theta \) et \( \sin\theta \) sont les coordonnées du point image de l’angle orienté \( \theta \). On a \( \cos^2\theta+\sin^2\theta=1 \). Les fonctions sont \( 2\pi \)-périodiques ; \( \cos \) est paire, \( \sin \) est impaire.

Formules d’addition

• \( \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b \)
• \( \cos(a-b)=\cos a\cos b+\sin a\sin b \)
• \( \sin(a+b)=\sin a\cos b+\cos a\sin b \)
• \( \sin(a-b)=\sin a\cos b-\cos a\sin b \)

Cas particuliers : \( \cos(2a)=\cos^2 a-\sin^2 a=2\cos^2 a-1=1-2\sin^2 a \) ; \( \sin(2a)=2\sin a\cos a \).

Équations trigonométriques

Résultats fondamentaux :

• \( \cos x=\cos a\Leftrightarrow x=a+2k\pi \) ou \( x=-a+2k\pi \), \( k\in\mathbb{Z} \).
• \( \sin x=\sin a\Leftrightarrow x=a+2k\pi \) ou \( x=\pi-a+2k\pi \), \( k\in\mathbb{Z} \).
• \( \sin x=0\Leftrightarrow x=k\pi \) ; \( \cos x=0\Leftrightarrow x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi \).

Exemple

\( \cos x=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x=\pm\dfrac{\pi}{3}+2k\pi \).

Dérivées

\( (\cos)'=-\sin \) et \( (\sin)'=\cos \). Pour une composée : \( (\cos u)'=-u'\sin u \) et \( (\sin u)'=u'\cos u \).

Exemple

\( f(x)=\sin(2x)\Rightarrow f'(x)=2\cos(2x) \) ; \( g(x)=\cos(x^2)\Rightarrow g'(x)=-2x\sin(x^2) \).

Étude de \( x\mapsto\cos x \) et \( x\mapsto\sin x \)

Sur \( \mathbb{R} \), elles sont dérivables, bornées entre \( -1 \) et \( 1 \). Sur \( [0;2\pi] \) on dresse le tableau de variations classique : \( \sin \) croît sur \( [0;\pi/2] \), etc. Les tangentes en 0 : \( y=x \) pour \( \sin \), \( y=1 \) pour \( \cos \).

Applications

• Modélisation d’oscillations : \( y=A\cos(\omega t+\varphi) \).
• Calculs d’aires / intégrales avec primitives \( \sin \) et \( -\cos \).
• Transformation de sommes en produits (factorisation) pour résoudre \( a\cos x+b\sin x=c \).

Idée pour \( a\cos x+b\sin x \)

On écrit \( R\cos(x-\varphi) \) avec \( R=\sqrt{a^2+b^2} \) lorsque c’est au programme de la classe / autorisé par l’énoncé.

Méthodes de résolution

• Se ramener à \( \cos x=\alpha \) ou \( \sin x=\alpha \) (avec \( |\alpha|\leqslant 1 \)).
• Utiliser une formule de duplication ou une factorisation.
• Travailler sur une période puis généraliser avec \( +2k\pi \).

Pièges fréquents

• Oublier la deuxième famille de solutions.
• Confondre degrés et radians (en analyse, on travaille en radians).
• Dériver \( \cos \) en \( +\sin \) par erreur de signe.

Exercices — Fonctions sinus et cosinus

Primitives

Une fonction \( F \) est une primitive de \( f \) sur un intervalle \( I \) si \( F \) est dérivable sur \( I \) et \( F'=f \). Si \( F \) est une primitive, toutes les autres s’écrivent \( F+C \) avec \( C \) constante.

Intégrale définie

Si \( f \) est continue sur \( [a;b] \) et \( F \) une primitive de \( f \), on pose :

\( \displaystyle\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \).

Cette quantité ne dépend pas du choix de la primitive. On a \( \int_a^a=0 \) et \( \int_a^b=-\int_b^a \).

Linéarité et relation de Chasles

• Linéarité : \( \int_a^b(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g \).
• Chasles : \( \int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f \).

Exemple

\( \int_0^1(2x+3)\,\mathrm{d}x=\big[x^2+3x\big]_0^1=4 \).

Positivité et comparaison

Si \( f\geqslant 0 \) sur \( [a;b] \) (avec \( a\leqslant b \)), alors \( \int_a^b f\geqslant 0 \). Si \( f\leqslant g \), alors \( \int_a^b f\leqslant\int_a^b g \).

Conséquence : \( \left|\int_a^b f\right|\leqslant\int_a^b|f| \).

Lien avec l’aire

Pour \( f\geqslant 0 \) continue, \( \int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x \) est l’aire (en unités d’aire) du domaine sous la courbe entre \( x=a \) et \( x=b \). Si \( f \) change de signe, l’intégrale compte les aires algébriques ; l’aire géométrique utilise \( \int|f| \) ou un découpage.

Exemple

Aire sous \( y=x \) sur \( [0;2] \) : \( \int_0^2 x\,\mathrm{d}x=\big[\frac{x^2}{2}\big]_0^2=2 \).

Calculs usuels

• Primitive de \( u'\mathrm{e}^u \) : \( \mathrm{e}^u \) ; de \( \dfrac{u'}{u} \) : \( \ln|u| \).
• Primitive de \( u'\cos u \) : \( \sin u \) ; de \( u'\sin u \) : \( -\cos u \).
• Pour \( (ax+b)^n \), penser à composer / factoriser la constante \( a \).

Exemple

\( \int_0^{\pi/2}\cos x\,\mathrm{d}x=\big[\sin x\big]_0^{\pi/2}=1 \).

Lien avec la dérivée

Si \( f \) est continue et \( a \) fixé, la fonction \( F(x)=\displaystyle\int_a^x f(t)\,\mathrm{d}t \) est la primitive de \( f \) qui s’annule en \( a \) : \( F'=f \) et \( F(a)=0 \).

Plus généralement, \( \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\int_a^{u(x)}f(t)\,\mathrm{d}t=u'(x)f(u(x)) \).

Méthode de calcul

• Reconnaître une forme dérivée de composée.
• Écrire une primitive, puis appliquer \( F(b)-F(a) \).
• Vérifier le signe pour interpréter une aire.

Exercices — Primitives et intégrales

Schéma de Bernoulli

Une épreuve de Bernoulli a deux issues : succès (probabilité \( p \)) et échec (probabilité \( q=1-p \)). Un schéma de Bernoulli est la répétition de \( n \) épreuves identiques et indépendantes.

Exemple

Lancer \( n \) fois une pièce équilibrée : succès = « pile », \( p=\frac12 \).

Loi binomiale \( X\sim\mathcal{B}(n;p) \)

La variable aléatoire \( X \) compte le nombre de succès. Pour \( k\in\{0;1;\ldots;n\} \) :

\( P(X=k)=C_n^k\, p^k(1-p)^{n-k} \).

Il y a \( C_n^k \) façons de placer les \( k \) succès parmi \( n \) tirages ; chaque scénario précis a la probabilité \( p^k(1-p)^{n-k} \).

Espérance et variance

Si \( X\sim\mathcal{B}(n;p) \) :

• \( E(X)=np \)
• \( V(X)=np(1-p) \) et \( \sigma(X)=\sqrt{np(1-p)} \)

Exemple

\( X\sim\mathcal{B}(20;0{,}3) \) : \( E(X)=6 \), \( V(X)=20\times 0{,}3\times 0{,}7=4{,}2 \).

Calculer \( P(X=k) \)

On calcule \( C_n^k \), puis on multiplie par \( p^k(1-p)^{n-k} \). La calculatrice ou Python aident pour les grands \( n \).

Probabilités cumulées

On rencontre souvent :

• \( P(X\leqslant k)=\sum_{i=0}^{k}P(X=i) \)
• \( P(X\geqslant k)=1-P(X\leqslant k-1) \)
• \( P(a\leqslant X\leqslant b)=P(X\leqslant b)-P(X\leqslant a-1) \)

Exemple

Pour \( X\sim\mathcal{B}(3;1/2) \), \( P(X\geqslant 2)=P(X=2)+P(X=3)=\frac{3}{8}+\frac{1}{8}=\frac12 \).

Arbre et coefficients

L’arbre pondéré d’un schéma de Bernoulli a \( 2^n \) issues élémentaires si l’on distingue les ordres ; en regroupant celles à \( k \) succès, on retrouve le facteur \( C_n^k \).

Modéliser correctement

• Identifier clairement ce qu’est un succès et la valeur de \( p \).
• Vérifier l’indépendance (avec / sans remise, tirages successifs…).
• Fixer \( n \) et écrire \( X\sim\mathcal{B}(n;p) \) avant de calculer.

Ordre de grandeur et fluctuation

Autour de \( np \), les valeurs de \( X \) se concentrent d’autant plus que \( n \) est grand (idée de concentration). On utilise l’écart-type \( \sqrt{np(1-p)} \) pour situer les écarts « typiques » à la moyenne.

Exercices — Loi binomiale et concentration

Algorithmique en terminale

En spécialité maths, Python sert à explorer des conjectures, approcher des solutions, estimer des probabilités et visualiser des suites. On privilégie des scripts courts, lisibles, avec des boucles et des fonctions.

Dichotomie

Pour approcher une racine de \( f \) continue sur \( [a;b] \) avec \( f(a)f(b)<0 \) (TVI) : on coupe l’intervalle en deux, on garde la moitié où \( f \) change de signe, on répète jusqu’à une précision \( \varepsilon \).

Idée de code

def dichotomie(f, a, b, eps):
    while b - a > eps:
        m = (a + b) / 2
        if f(a) * f(m) <= 0:
            b = m
        else:
            a = m
    return (a + b) / 2

Après \( n \) étapes, la longueur de l’intervalle est divisée par \( 2^n \).

Méthode des rectangles (intégrale)

Pour approcher \( \int_a^b f \), on découpe \( [a;b] \) en \( n \) intervalles de largeur \( h=(b-a)/n \) et on somme des aires de rectangles (à gauche, à droite, ou milieu).

Rectangles à gauche

def rectangles(f, a, b, n):
    h = (b - a) / n
    s = 0
    for i in range(n):
        s = s + f(a + i * h)
    return h * s

Plus \( n \) est grand, plus l’approximation est en général meilleure si \( f \) est régulière.

Simulation d’une loi binomiale

On simule \( n \) épreuves de Bernoulli de paramètre \( p \), on compte les succès, on répète \( N \) fois pour estimer des probabilités par fréquences.

from random import random

def bernoulli(p):
    return 1 if random() < p else 0

def binomiale(n, p):
    return sum(bernoulli(p) for _ in range(n))

La fréquence de l’événement \( \{X=k\} \) sur \( N \) simulations approxime \( P(X=k) \).

Suites : termes et seuils

Pour une suite récurrente \( u_{n+1}=f(u_n) \), on calcule les premiers termes ou le plus petit \( n \) tel que \( u_n \) dépasse un seuil.

def termes(u0, f, N):
    u = u0
    liste = [u]
    for _ in range(N):
        u = f(u)
        liste.append(u)
    return liste

Exemple

\( u_0=1 \), \( u_{n+1}=0{,}5\,u_n+1 \) : on observe la convergence vers le point fixe \( L=2 \).

Recherche de seuil

Classique pour les suites géométriques ou les intérêts composés : trouver le plus petit \( n \) tel que \( u_n>A \).

def seuil(u0, f, A):
    u = u0
    n = 0
    while u <= A:
        u = f(u)
        n = n + 1
    return n

Bonnes pratiques

• Nommer les variables comme en maths : n, p, eps.
• Tester sur un cas connu (intégrale exacte, petite binomiale).
• Commenter l’intention : précision, nombre de simulations, hypothèses.
• Distinguer résultat exact (formule) et approximation (algo).

Liens avec le cours

Exercices — Algorithmique en terminale