Cours
Nombres relatifs et opérations
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Cours — Nombres relatifs et opérations
Rappels : additionner et soustraire des relatifs
Un nombre relatif est composé d’un signe (+ ou −) et d’une distance à zéro. En 5ᵉ, on a appris à les additionner et à les soustraire.
- Deux nombres de même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe. Exemple : (−3) + (−5) = −8.
- Deux nombres de signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on garde le signe du plus « fort ». Exemple : (−3) + 8 = 5.
- Soustraire un nombre, c’est ajouter son opposé : 4 − 9 = 4 + (−9) = −5.
L’opposé d’un nombre a le même chiffre mais le signe contraire : l’opposé de −7 est 7.
Multiplier deux nombres relatifs : la règle des signes
Pour multiplier deux relatifs, on multiplie les distances à zéro, puis on applique la règle des signes.
| Signe du 1ᵉʳ facteur | Signe du 2ᵉ facteur | Signe du produit | Exemple |
|---|---|---|---|
| + | + | + | 4 × 5 = 20 |
| + | − | − | 4 × (−5) = −20 |
| − | + | − | (−4) × 5 = −20 |
| − | − | + | (−4) × (−5) = 20 |
Deux facteurs de même signe donnent un produit positif. Deux facteurs de signes contraires donnent un produit négatif.
Diviser deux nombres relatifs
La division suit exactement la même règle des signes que la multiplication : on divise les distances à zéro, puis on choisit le signe.
Même signe
(−15) ÷ (−3) = 5
15 ÷ 3 = 5
Signes contraires
(−15) ÷ 3 = −5
15 ÷ (−3) = −5
Attention : on ne divise jamais par zéro.
Produit de plusieurs facteurs
Quand on multiplie plusieurs relatifs, seul le nombre de facteurs négatifs décide du signe du résultat.
- Nombre pair de facteurs négatifs : le produit est positif.
- Nombre impair de facteurs négatifs : le produit est négatif.
Exemple : (−2) × 3 × (−5) contient 2 facteurs négatifs, donc le produit est positif : (−2) × 3 × (−5) = 30.
Exemple : (−1) × (−2) × (−4) contient 3 facteurs négatifs, donc le produit est négatif : (−1) × (−2) × (−4) = −8.
Enchaîner les opérations : les priorités
Dans un calcul avec des relatifs, on respecte les priorités opératoires :
- D’abord les calculs entre parenthèses.
- Ensuite les multiplications et divisions, de gauche à droite.
- Enfin les additions et soustractions, de gauche à droite.
7 − 3 × (−2) = 7 − (−6) = 7 + 6 = 13
(−4 + 10) ÷ (−2) = 6 ÷ (−2) = −3
La multiplication et la division sont prioritaires sur l’addition et la soustraction, même avec des nombres négatifs.
Mémo — Nombres relatifs et opérations
- Règle des signes (× et ÷) : même signe → résultat positif ; signes contraires → résultat négatif.
- (−4) × (−5) = 20 ; (−4) × 5 = −20 ; (−15) ÷ (−3) = 5 ; 15 ÷ (−3) = −5.
- Plusieurs facteurs : nombre pair de négatifs → produit positif ; nombre impair → produit négatif.
- Priorités : parenthèses, puis × et ÷, puis + et −.
- Soustraire, c’est ajouter l’opposé : 4 − 9 = 4 + (−9) = −5.
- Pièges classiques : −3 × (−2) vaut +6 (et non −6) ; 7 − 3 × (−2) = 13 (la multiplication d’abord !).
- Le produit d’un nombre par 0 vaut 0. On ne divise jamais par 0.
Exercices — Nombres relatifs et opérations
Exercice 1
Calcule les produits suivants :
- (−6) × 7
- (−8) × (−4)
- 9 × (−5)
Correction
1. Signes contraires, donc résultat négatif : (−6) × 7 = −42.
2. Même signe, donc résultat positif : (−8) × (−4) = 32.
3. Signes contraires : 9 × (−5) = −45.
Exercice 2
Calcule les quotients suivants :
- (−36) ÷ 4
- (−45) ÷ (−9)
- 63 ÷ (−7)
Correction
1. Signes contraires : (−36) ÷ 4 = −9.
2. Même signe : (−45) ÷ (−9) = 5.
3. Signes contraires : 63 ÷ (−7) = −9.
Exercice 3
Donne le signe de chaque produit sans le calculer, puis calcule :
- (−2) × (−3) × (−5)
- (−1) × 4 × (−25)
Correction
1. Trois facteurs négatifs (nombre impair) : le produit est négatif. (−2) × (−3) × (−5) = 6 × (−5) = −30.
2. Deux facteurs négatifs (nombre pair) : le produit est positif. (−1) × 4 × (−25) = (−4) × (−25) = 100.
Exercice 4
Calcule en respectant les priorités opératoires :
- A = 5 − 4 × (−3)
- B = (−2 + 8) × (−5)
- C = −18 ÷ (7 − 4)
Correction
A = 5 − 4 × (−3) = 5 − (−12) = 5 + 12 = 17.
B = (−2 + 8) × (−5) = 6 × (−5) = −30.
C = −18 ÷ (7 − 4) = −18 ÷ 3 = −6.
Évaluation — Nombres relatifs et opérations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Puissances
Définition d’une puissance
Pour un nombre a et un entier n ≥ 1, la puissance an (lire « a exposant n ») est le produit de n facteurs tous égaux à a :
an = a × a × … × a (n facteurs)
- 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32.
- 72 = 7 × 7 = 49 (on lit « 7 au carré »).
- 43 = 4 × 4 × 4 = 64 (on lit « 4 au cube »).
- (−3)2 = (−3) × (−3) = 9, mais −32 = −(3 × 3) = −9.
Par convention, a1 = a et a0 = 1 (pour a ≠ 0).
Attention : an n’est pas a × n. Par exemple 25 = 32 et non 10.
Les puissances de 10
10n s’écrit avec un 1 suivi de n zéros. 10−n est l’inverse de 10n : c’est 0,00…01 avec le 1 à la n-ième position après la virgule.
| Puissance | Écriture décimale | Puissance | Écriture décimale |
|---|---|---|---|
| 101 | 10 | 10−1 | 0,1 |
| 102 | 100 | 10−2 | 0,01 |
| 103 | 1 000 | 10−3 | 0,001 |
| 106 | 1 000 000 | 10−6 | 0,000 001 |
Multiplier par 10n décale la virgule de n rangs vers la droite ; multiplier par 10−n la décale de n rangs vers la gauche.
La notation scientifique
Un nombre est en notation scientifique quand il s’écrit a × 10n, avec 1 ≤ a < 10 (a possède un seul chiffre non nul avant la virgule) et n entier relatif.
| Nombre | Notation scientifique |
|---|---|
| 45 800 | 4,58 × 104 |
| 7 000 000 | 7 × 106 |
| 0,0032 | 3,2 × 10−3 |
| 0,000 51 | 5,1 × 10−4 |
Pour comparer deux nombres en notation scientifique, on compare d’abord les exposants de 10, puis, s’ils sont égaux, les nombres a. Exemple : 3,2 × 105 < 1,4 × 106 car 5 < 6.
La notation scientifique sert à écrire simplement les très grands nombres (distances astronomiques) et les très petits (taille d’une cellule).
Règles de calcul sur les puissances
Pour multiplier deux puissances d’un même nombre, on additionne les exposants :
an × ap = an + p 23 × 22 = 25 = 32 104 × 103 = 107 105 × 10−2 = 103
Vérification avec la définition : 23 × 22 = (2 × 2 × 2) × (2 × 2) = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 25.
Les préfixes des unités
Les puissances de 10 se retrouvent dans les préfixes des unités de mesure.
| Préfixe | Symbole | Valeur | Exemple |
|---|---|---|---|
| giga | G | 109 | 1 Go = 109 octets |
| méga | M | 106 | 1 MW = 106 W |
| kilo | k | 103 | 1 km = 103 m |
| milli | m | 10−3 | 1 mm = 10−3 m |
| micro | µ | 10−6 | 1 µm = 10−6 m |
| nano | n | 10−9 | 1 nm = 10−9 m |
Mémo — Puissances
- Définition : an = a × a × … × a (n facteurs). Exemple : 25 = 32.
- a1 = a et a0 = 1 (a ≠ 0).
- Puissances de 10 : 10n = 1 suivi de n zéros ; 10−n = 0,0…01 (n rangs après la virgule).
- Notation scientifique : a × 10n avec 1 ≤ a < 10. Exemple : 0,0032 = 3,2 × 10−3.
- Produit : an × ap = an + p. Exemple : 104 × 103 = 107.
- Préfixes : kilo = 103, méga = 106, giga = 109, milli = 10−3, micro = 10−6, nano = 10−9.
- Pièges : 25 ≠ 2 × 5 ; (−3)2 = 9 mais −32 = −9.
Exercices — Puissances
Exercice 1
Calcule :
- 34
- 53
- (−2)4
- 105
Correction
1. 34 = 3 × 3 × 3 × 3 = 81.
2. 53 = 5 × 5 × 5 = 125.
3. (−2)4 = (−2) × (−2) × (−2) × (−2) = 16 (nombre pair de facteurs négatifs).
4. 105 = 100 000.
Exercice 2
Écris en notation scientifique :
- 384 000 (distance Terre-Lune en km)
- 0,000 12
- 93 000 000
Correction
1. 384 000 = 3,84 × 105.
2. 0,000 12 = 1,2 × 10−4.
3. 93 000 000 = 9,3 × 107.
Exercice 3
Écris sous la forme d’une seule puissance :
- 106 × 102
- 73 × 75
- 104 × 10−6
Correction
On additionne les exposants :
1. 106 × 102 = 108.
2. 73 × 75 = 78.
3. 104 × 10−6 = 104 + (−6) = 10−2 = 0,01.
Exercice 4
Range dans l’ordre croissant : 2,7 × 104 ; 9,1 × 103 ; 3 × 104 ; 8,5 × 102.
Correction
On compare d’abord les exposants : 102 < 103 < 104. Puis, pour le même exposant 4, on compare 2,7 et 3.
Ordre croissant : 8,5 × 102 < 9,1 × 103 < 2,7 × 104 < 3 × 104.
Évaluation — Puissances
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Question 1
Cours — Fractions
Fractions égales, simplification et comparaison
Deux fractions sont égales si l’on passe de l’une à l’autre en multipliant (ou en divisant) le numérateur et le dénominateur par un même nombre non nul.
12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3
Pour comparer deux fractions, on les met au même dénominateur, puis on compare les numérateurs.
5/6 = 15/18 et 7/9 = 14/18 15/18 > 14/18 donc 5/6 > 7/9
Une fraction est simplifiée (irréductible) quand son numérateur et son dénominateur n’ont plus de diviseur commun autre que 1.
Additionner et soustraire des fractions
On ne peut additionner (ou soustraire) que des fractions ayant le même dénominateur. Sinon, on commence par les réduire au même dénominateur.
2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6
3/4 − 2/5 = 15/20 − 8/20 = 7/20
- On additionne (ou soustrait) uniquement les numérateurs.
- Le dénominateur commun ne change pas.
- On simplifie le résultat si possible.
Multiplier des fractions
Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux — sans mettre au même dénominateur.
a/b × c/d = (a × c)/(b × d) 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10
Astuce : on peut simplifier avant de calculer pour éviter les grands nombres :
7/15 × 5/14 = (7 × 5)/(15 × 14) = (1 × 1)/(3 × 2) = 1/6
Prendre une fraction « de » une quantité, c’est multiplier : les 3/5 de 30 élèves, c’est 3/5 × 30 = 18 élèves.
Inverse d’un nombre et division par une fraction
Deux nombres sont inverses l’un de l’autre si leur produit vaut 1.
| Nombre | Inverse | Vérification |
|---|---|---|
| 5 | 1/5 | 5 × 1/5 = 1 |
| 2/3 | 3/2 | 2/3 × 3/2 = 6/6 = 1 |
| −4 | −1/4 | (−4) × (−1/4) = 1 |
Diviser par une fraction, c’est multiplier par son inverse :
2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 10/12 = 5/6
Le nombre 0 n’a pas d’inverse : on ne divise jamais par 0.
Enchaîner des calculs avec des fractions
Les priorités opératoires restent valables avec les fractions : la multiplication et la division avant l’addition et la soustraction.
1/2 + 1/3 × 3/4 = 1/2 + 3/12 = 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4
Avec des fractions négatives, la règle des signes s’applique : (−2/3) × (−9/4) = 18/12 = 3/2.
Mémo — Fractions
- Addition / soustraction : même dénominateur obligatoire, puis on additionne les numérateurs. 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.
- Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10.
- Inverse de a/b : b/a (produit = 1). Inverse de 5 : 1/5. Zéro n’a pas d’inverse.
- Division : diviser par une fraction = multiplier par son inverse. 2/3 ÷ 4/5 = 2/3 × 5/4 = 5/6.
- Comparaison : mettre au même dénominateur puis comparer les numérateurs.
- « Fraction de » = multiplication : 3/5 de 30 = 18.
- Pièges : on n’additionne jamais les dénominateurs ; on ne met pas au même dénominateur pour multiplier.
Exercices — Fractions
Exercice 1
Calcule et simplifie si possible :
- 3/8 + 1/4
- 5/6 − 1/3
Correction
1. 3/8 + 1/4 = 3/8 + 2/8 = 5/8.
2. 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2.
Exercice 2
Calcule les produits :
- 2/7 × 3/5
- 4/9 × 3/8
- Les 2/3 de 45 €
Correction
1. 2/7 × 3/5 = 6/35.
2. 4/9 × 3/8 = 12/72 = 1/6.
3. 2/3 × 45 = 90/3 = 30 €.
Exercice 3
Donne l’inverse de chaque nombre, puis calcule :
- Inverse de 7/2 ; inverse de 6.
- 3/5 ÷ 9/10
- 4 ÷ 2/3
Correction
1. L’inverse de 7/2 est 2/7 ; l’inverse de 6 est 1/6.
2. 3/5 ÷ 9/10 = 3/5 × 10/9 = 30/45 = 2/3.
3. 4 ÷ 2/3 = 4 × 3/2 = 12/2 = 6.
Exercice 4
Léa a lu les 2/5 d’un livre de 240 pages, puis le 1/3 du livre le lendemain. Combien de pages lui reste-t-il à lire ?
Correction
Fraction lue : 2/5 + 1/3 = 6/15 + 5/15 = 11/15.
Fraction restante : 1 − 11/15 = 4/15.
Pages restantes : 4/15 × 240 = 960/15 = 64 pages.
Évaluation — Fractions
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Calcul littéral
Expressions littérales et conventions d’écriture
Une expression littérale contient une ou plusieurs lettres qui désignent des nombres. Pour alléger l’écriture, on applique des conventions :
- On supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse : 3 × x s’écrit 3x, et 5 × (a + 2) s’écrit 5(a + 2).
- On écrit le nombre avant la lettre : x × 4 s’écrit 4x.
- a × a s’écrit a2 et a × a × a s’écrit a3.
- 1x s’écrit simplement x, et 0x vaut 0.
Exemple : le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l s’écrit P = 2(L + l).
Distributivité simple : développer et factoriser
Pour tous nombres k, a et b :
k(a + b) = ka + kb k(a − b) = ka − kb
Développer
Transformer un produit en somme.
3(x + 5) = 3x + 15
5(2x − 3) = 10x − 15
−2(x + 4) = −2x − 8
Factoriser
Transformer une somme en produit.
7x + 14 = 7(x + 2)
6x − 9 = 3(2x − 3)
x2 + 5x = x(x + 5)
Attention aux signes : −2(x + 4) = −2x − 8, car on distribue le −2 sur chaque terme.
Double distributivité
Pour développer le produit de deux sommes, chaque terme de la première parenthèse multiplie chaque terme de la seconde :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(x + 2)(x + 3) = x × x + x × 3 + 2 × x + 2 × 3 = x2 + 3x + 2x + 6 = x2 + 5x + 6
(2x + 1)(x − 4) = 2x2 − 8x + x − 4 = 2x2 − 7x − 4
Réduire une expression
Réduire, c’est regrouper les termes « de même nature » : les termes en x2 ensemble, les termes en x ensemble, les nombres ensemble.
5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10 4x2 + 2x − x2 + 5x = 3x2 + 7x
On ne peut pas regrouper 3x2 et 7x : ce ne sont pas des termes de même nature.
Substituer et tester une égalité
Substituer, c’est remplacer la lettre par un nombre pour calculer la valeur de l’expression.
Pour x = −2 :
3x2 − 2x = 3 × (−2)2 − 2 × (−2)
= 3 × 4 + 4
= 16
Pour tester une égalité, on calcule séparément chaque membre pour la valeur donnée : l’égalité est vraie si les deux membres sont égaux.
Exemple : l’égalité 4x + 1 = 2x + 7 est-elle vraie pour x = 3 ? Membre de gauche : 4 × 3 + 1 = 13. Membre de droite : 2 × 3 + 7 = 13. Les deux valent 13 : l’égalité est vraie pour x = 3.
Mémo — Calcul littéral
- Conventions : 3 × x = 3x ; a × a = a2 ; 1x = x.
- Distributivité simple : k(a + b) = ka + kb. Exemple : 3(x + 5) = 3x + 15.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd. Exemple : (x + 2)(x + 3) = x2 + 5x + 6.
- Factoriser = repérer le facteur commun : 7x + 14 = 7(x + 2).
- Réduire = regrouper les termes de même nature : 5x + 3 − 2x + 7 = 3x + 10.
- Substituer = remplacer la lettre par un nombre, en respectant les priorités.
- Pièges : −2(x + 4) = −2x − 8 (signe !) ; 3x2 et 7x ne se regroupent pas ; (x + 2)(x + 3) ≠ x2 + 6.
Exercices — Calcul littéral
Exercice 1
Développe puis réduis :
- A = 4(x + 6)
- B = 7(2x − 3)
- C = −5(x − 2)
Correction
A = 4x + 24.
B = 14x − 21.
C = −5x + 10 (attention : −5 × (−2) = +10).
Exercice 2
Développe et réduis avec la double distributivité :
- D = (x + 4)(x + 5)
- E = (3x + 2)(x − 1)
Correction
D = x2 + 5x + 4x + 20 = x2 + 9x + 20.
E = 3x2 − 3x + 2x − 2 = 3x2 − x − 2.
Exercice 3
Factorise :
- F = 9x + 27
- G = 5x2 + 3x
Correction
F = 9x + 27 = 9(x + 3) (facteur commun 9).
G = 5x2 + 3x = x(5x + 3) (facteur commun x).
Exercice 4
On pose H = 2x2 − 3x + 1.
- Calcule H pour x = 4.
- Calcule H pour x = −1.
Correction
1. H = 2 × 42 − 3 × 4 + 1 = 32 − 12 + 1 = 21.
2. H = 2 × (−1)2 − 3 × (−1) + 1 = 2 + 3 + 1 = 6.
Évaluation — Calcul littéral
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Équations
Vocabulaire des équations
Une équation est une égalité qui contient un nombre inconnu, souvent noté x. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie : ce sont les solutions.
| Équation | Membre de gauche | Membre de droite | Solution |
|---|---|---|---|
| x + 7 = 12 | x + 7 | 12 | x = 5 |
| 3x = 21 | 3x | 21 | x = 7 |
| 2x − 5 = 9 | 2x − 5 | 9 | x = 7 |
Pour vérifier une solution, on remplace x par la valeur trouvée dans l’équation de départ : 2 × 7 − 5 = 9 ✔.
Les règles de transformation
Une équation reste vraie si l’on effectue la même opération sur ses deux membres. C’est le principe de la balance en équilibre.
- On peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres : si x − 4 = 10, alors x − 4 + 4 = 10 + 4, donc x = 14.
- On peut multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul : si 5x = 35, alors 5x ÷ 5 = 35 ÷ 5, donc x = 7.
Ce qu’on fait à gauche, on le fait aussi à droite. On ne divise jamais par 0.
Résoudre une équation du type ax + b = cx + d
Méthode en quatre étapes :
- Regrouper les termes en x dans un membre (en soustrayant cx des deux côtés).
- Regrouper les nombres dans l’autre membre.
- Diviser par le coefficient de x.
- Vérifier la solution dans l’équation de départ.
5x + 3 = 2x + 12 5x − 2x = 12 − 3 3x = 9 x = 9 ÷ 3 x = 3
Vérification : 5 × 3 + 3 = 18 et 2 × 3 + 12 = 18. Les deux membres sont égaux : la solution est bien x = 3.
4x + 9 = x − 6 4x − x = −6 − 9 3x = −15 x = −5
Mettre un problème en équation
Méthode :
- Choisir l’inconnue : « soit x le nombre cherché ».
- Traduire l’énoncé par une équation.
- Résoudre l’équation.
- Conclure par une phrase, en vérifiant que la réponse a du sens.
Problème : « Le triple d’un nombre augmenté de 4 vaut 19. Quel est ce nombre ? »
Soit x le nombre cherché. 3x + 4 = 19 3x = 15 x = 5
Le nombre cherché est 5. Vérification : 3 × 5 + 4 = 19 ✔.
Autre exemple : Lucie a le double de l’âge de son frère et la somme de leurs âges est 36 ans. Soit x l’âge du frère : x + 2x = 36, donc 3x = 36 et x = 12. Le frère a 12 ans et Lucie 24 ans.
Mémo — Équations
- Équation : égalité avec une inconnue. Résoudre = trouver les valeurs qui la rendent vraie.
- On peut ajouter, soustraire, multiplier ou diviser (par un nombre non nul) les deux membres en même temps.
- Méthode ax + b = cx + d : les x d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x.
- Exemple : 5x + 3 = 2x + 12 → 3x = 9 → x = 3.
- Toujours vérifier en remplaçant x dans l’équation de départ.
- Problème : choisir l’inconnue, traduire, résoudre, conclure par une phrase.
- Pièges : changer un terme de membre revient à changer son signe ; ne pas oublier de diviser tout le membre.
Exercices — Équations
Exercice 1
Résous les équations :
- x + 9 = 15
- x − 7 = 3
- 6x = 42
Correction
1. x = 15 − 9 = 6.
2. x = 3 + 7 = 10.
3. x = 42 ÷ 6 = 7.
Exercice 2
Résous les équations :
- 3x + 5 = 20
- 4x − 7 = 13
Correction
1. 3x = 20 − 5 = 15, donc x = 5. Vérification : 3 × 5 + 5 = 20 ✔.
2. 4x = 13 + 7 = 20, donc x = 5. Vérification : 4 × 5 − 7 = 13 ✔.
Exercice 3
Résous les équations avec l’inconnue dans les deux membres :
- 7x − 4 = 3x + 8
- 2x + 15 = 5x − 6
Correction
1. 7x − 3x = 8 + 4, soit 4x = 12, donc x = 3.
2. 15 + 6 = 5x − 2x, soit 21 = 3x, donc x = 7.
Exercice 4
Un rectangle a une longueur de 5 cm de plus que sa largeur. Son périmètre vaut 38 cm. Quelles sont ses dimensions ?
Correction
Soit x la largeur (en cm). La longueur vaut x + 5.
Périmètre : 2(x + x + 5) = 38, soit 2(2x + 5) = 38, donc 4x + 10 = 38.
4x = 28, donc x = 7.
La largeur mesure 7 cm et la longueur 12 cm. Vérification : 2 × (7 + 12) = 38 ✔.
Évaluation — Équations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
| Masse de pommes (kg) | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 7,50 | 12,50 | 20 |
Ici, chaque prix s’obtient en multipliant la masse par 2,5 : le tableau est un tableau de proportionnalité de coefficient 2,5.
Sur un graphique, une situation de proportionnalité est représentée par des points alignés avec l’origine du repère.
Quatrième proportionnelle et produit en croix
Quand trois valeurs d’un tableau de proportionnalité sont connues, on peut calculer la quatrième : c’est la quatrième proportionnelle.
Si a/b = c/d (tableau de proportionnalité), alors a × d = b × c (produit en croix) Exemple : 3/5 = x/20 5 × x = 3 × 20 x = 60 ÷ 5 = 12
Exemple concret : 3 cahiers coûtent 5,40 €. Combien coûtent 7 cahiers ? On calcule x = (5,40 × 7) ÷ 3 = 37,80 ÷ 3 = 12,60 €.
Les pourcentages
Appliquer un pourcentage, c’est multiplier par la fraction correspondante :
Prendre t % d’une quantité, c’est la multiplier par t/100. 30 % de 250 = 250 × 30/100 = 75
- Augmentation de 20 % : le prix de 45 € devient 45 + 45 × 20/100 = 45 + 9 = 54 €.
- Réduction de 15 % : le prix de 80 € devient 80 − 80 × 15/100 = 80 − 12 = 68 €.
- Calculer un pourcentage : 12 filles sur 30 élèves représentent 12/30 = 0,4 = 40 %.
Vitesse moyenne
Si un mobile parcourt une distance d pendant une durée t, sa vitesse moyenne v vérifie :
d = v × t v = d ÷ t t = d ÷ v
| Question | Calcul | Réponse |
|---|---|---|
| 150 km en 2 h : quelle vitesse ? | v = 150 ÷ 2 | 75 km/h |
| 90 km/h pendant 2 h 30 : quelle distance ? | d = 90 × 2,5 | 225 km |
| 120 km à 80 km/h : quelle durée ? | t = 120 ÷ 80 = 1,5 | 1 h 30 |
Attention aux unités : 2 h 30 min = 2,5 h (et non 2,3 h). Pour convertir des m/s en km/h, on multiplie par 3,6.
Échelles et conversions
L’échelle d’une carte est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur la carte et les distances réelles, exprimées dans la même unité.
Échelle 1/200 000 : 1 cm sur la carte = 200 000 cm en réalité. 4 cm sur la carte → 4 × 200 000 = 800 000 cm = 8 km.
- 1 km = 100 000 cm et 1 m = 100 cm : il faut convertir avant de conclure.
- Une échelle 1/50 signifie que le plan est 50 fois plus petit que la réalité.
Mémo — Proportionnalité
- Proportionnalité : on multiplie toujours par le même coefficient.
- Produit en croix : si a/b = c/d alors a × d = b × c. Quatrième proportionnelle : x = (b × c) ÷ a.
- Pourcentage : t % d’une quantité = quantité × t/100. 30 % de 250 = 75.
- Augmentation de 20 % : × 1,20. Réduction de 15 % : × 0,85.
- Vitesse : d = v × t ; v = d ÷ t ; t = d ÷ v. Unités cohérentes (km et h, ou m et s).
- 2 h 30 = 2,5 h. Conversion m/s → km/h : × 3,6.
- Échelle : distance sur carte / distance réelle, dans la même unité. 1 km = 100 000 cm.
Exercices — Proportionnalité
Exercice 1
Un robinet remplit 12 litres en 3 minutes. En supposant le débit constant :
- Quel est le coefficient de proportionnalité (litres par minute) ?
- Quel volume est rempli en 7 minutes ?
Correction
1. 12 ÷ 3 = 4 litres par minute.
2. 4 × 7 = 28 litres.
Exercice 2
5 baguettes coûtent 6 €. Combien coûtent 8 baguettes ?
Correction
Produit en croix : x = (6 × 8) ÷ 5 = 48 ÷ 5 = 9,60 €.
Exercice 3
Un jean coûte 60 €. Il est soldé à −25 %.
- Calcule le montant de la réduction.
- Calcule le prix soldé.
Correction
1. Réduction : 60 × 25/100 = 15 €.
2. Prix soldé : 60 − 15 = 45 € (ou directement 60 × 0,75 = 45 €).
Exercice 4
Un cycliste parcourt 45 km en 1 h 30.
- Calcule sa vitesse moyenne.
- À cette vitesse, quelle distance parcourt-il en 2 h ?
Correction
1. 1 h 30 = 1,5 h, donc v = 45 ÷ 1,5 = 30 km/h.
2. d = 30 × 2 = 60 km.
Évaluation — Proportionnalité
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Statistiques et probabilités
Moyenne simple et moyenne pondérée
La moyenne d’une série se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par le nombre de valeurs.
Moyenne de 8, 12 et 16 : (8 + 12 + 16) ÷ 3 = 36 ÷ 3 = 12
Quand les valeurs ont des coefficients (ou des effectifs), on calcule une moyenne pondérée : on multiplie chaque valeur par son coefficient, on additionne, puis on divise par la somme des coefficients.
Note 10 (coefficient 2) et note 16 (coefficient 1) : (10 × 2 + 16 × 1) ÷ (2 + 1) = 36 ÷ 3 = 12
La médiane
La médiane d’une série ordonnée partage la série en deux groupes de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.
- Effectif impair : la médiane est la valeur du milieu. Pour 4 ; 7 ; 9 ; 12 ; 15, la médiane est 9.
- Effectif pair : la médiane est la demi-somme des deux valeurs centrales. Pour 6 ; 8 ; 11 ; 13, la médiane est (8 + 11) ÷ 2 = 9,5.
Avant de chercher la médiane, il faut toujours ranger la série dans l’ordre croissant.
L’étendue et l’interprétation
L’étendue d’une série est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur. Elle mesure la dispersion de la série.
Série : 5 ; 9 ; 14 ; 20 Étendue = 20 − 5 = 15
Deux classes peuvent avoir la même moyenne mais des étendues très différentes : celle qui a la plus petite étendue est plus homogène.
Probabilités : vocabulaire et calcul
Une expérience aléatoire a plusieurs issues possibles dont on ne peut pas prévoir laquelle se produira. Un événement est un ensemble d’issues.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 (événement impossible) et 1 (événement certain).
- En situation d’équiprobabilité : P(événement) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles.
- Dé équilibré : P(obtenir 3) = 1/6. Sac de 3 boules rouges et 7 noires : P(rouge) = 3/10.
- La somme des probabilités de toutes les issues vaut 1 : P(ne pas obtenir 3) = 1 − 1/6 = 5/6.
Expériences à deux épreuves et arbres
Pour une expérience en deux étapes (par exemple lancer deux fois une pièce), on représente toutes les issues avec un arbre.
1ᵉʳ lancer 2ᵉ lancer Issue
Pile ──────┬── Pile (P ; P)
└── Face (P ; F)
Face ──────┬── Pile (F ; P)
└── Face (F ; F)
Il y a 4 issues équiprobables. La probabilité d’obtenir deux fois Pile est donc 1/4, et celle d’obtenir exactement un Pile est 2/4 = 1/2.
Mémo — Statistiques et probabilités
- Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total.
- Moyenne pondérée = somme des (valeur × coefficient) ÷ somme des coefficients.
- Médiane : ranger la série, puis prendre la valeur du milieu (effectif impair) ou la demi-somme des deux valeurs centrales (effectif pair).
- Étendue = maximum − minimum : elle mesure la dispersion.
- Probabilité : entre 0 et 1. Équiprobabilité : P = favorables ÷ possibles.
- P(contraire) = 1 − P(événement).
- Deux épreuves : un arbre liste toutes les issues. Deux lancers de pièce : 4 issues, P(Pile ; Pile) = 1/4.
- Piège : ne pas confondre moyenne (calcul) et médiane (position au milieu de la série ordonnée).
Exercices — Statistiques et probabilités
Exercice 1
Voici les notes de Tom : 8 ; 11 ; 14 ; 9 ; 13.
- Calcule la moyenne.
- Détermine la médiane.
- Calcule l’étendue.
Correction
1. (8 + 11 + 14 + 9 + 13) ÷ 5 = 55 ÷ 5 = 11.
2. Série ordonnée : 8 ; 9 ; 11 ; 13 ; 14. La médiane est 11.
3. Étendue : 14 − 8 = 6.
Exercice 2
Une élève a obtenu 12 (coefficient 3) et 15 (coefficient 2). Calcule sa moyenne pondérée.
Correction
(12 × 3 + 15 × 2) ÷ (3 + 2) = (36 + 30) ÷ 5 = 66 ÷ 5 = 13,2.
Exercice 3
Un sac contient 4 boules bleues, 5 boules vertes et 1 boule jaune, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer la boule jaune ?
Correction
1. P(verte) = 5/10 = 1/2.
2. P(pas jaune) = 1 − 1/10 = 9/10.
Exercice 4
On lance une pièce équilibrée puis un dé équilibré à 6 faces.
- Combien y a-t-il d’issues possibles ?
- Quelle est la probabilité d’obtenir « Pile puis 6 » ?
Correction
1. 2 × 6 = 12 issues (on peut les lister avec un arbre).
2. Une seule issue favorable sur 12 : P = 1/12.
Évaluation — Statistiques et probabilités
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Transformations
La translation
Une translation est un glissement : toute la figure se déplace dans la même direction, dans le même sens et de la même longueur, sans tourner ni se retourner.
- La translation qui transforme A en B déplace tout point « comme on va de A à B ».
- Si M′ est l’image de M par la translation qui transforme A en B, alors ABM′M est un parallélogramme (éventuellement aplati).
- L’image d’une figure par une translation est une figure superposable à la figure de départ.
Une translation est définie par une direction, un sens et une longueur (par exemple : « 3 carreaux vers la droite et 2 vers le haut »).
La rotation
Une rotation fait tourner une figure autour d’un point fixe, appelé centre. Elle est définie par :
- son centre O ;
- son angle (par exemple 90°) ;
- son sens (sens des aiguilles d’une montre ou sens inverse).
Si M′ est l’image de M par la rotation de centre O et d’angle 90°, alors OM′ = OM et l’angle MOM′ mesure 90°. Le centre O est le seul point qui ne bouge pas.
Cas particulier : la rotation de 180° autour de O est la symétrie centrale de centre O, déjà vue en 5ᵉ.
Propriétés de conservation
La translation et la rotation conservent les mesures : la figure image est identique à la figure de départ, seulement déplacée.
| Grandeur | Translation | Rotation |
|---|---|---|
| Longueurs | conservées | conservées |
| Angles | conservés | conservés |
| Aires | conservées | conservées |
| Alignement et parallélisme | conservés | conservés |
Exemple : l’image d’un segment de 5 cm est un segment de 5 cm ; l’image d’un triangle d’aire 12 cm² est un triangle d’aire 12 cm².
Frises et pavages
Les transformations permettent de créer des motifs répétés :
- Une frise s’obtient en répétant un motif par des translations dans une seule direction.
- Un pavage recouvre le plan sans trou ni chevauchement, en répétant un motif par translations, rotations ou symétries.
- Pour reconnaître la transformation utilisée, on observe si le motif a glissé (translation), tourné (rotation) ou s’il a été retourné (symétrie).
Pour construire l’image d’une figure sur quadrillage, on déplace chaque sommet, puis on relie les images des sommets.
Mémo — Transformations
- Translation = glissement : direction, sens, longueur. Pas de rotation, pas de retournement.
- Si la translation transforme A en B et M en M′, alors ABM′M est un parallélogramme.
- Rotation = tour autour d’un centre : centre, angle, sens. Le centre est fixe et OM′ = OM.
- Rotation de 180° = symétrie centrale.
- Conservation : longueurs, angles, aires, alignement et parallélisme sont conservés par translation et rotation.
- Frise : motif répété par translations. Pavage : plan recouvert sans trou ni chevauchement.
- Méthode : sur quadrillage, déplacer chaque sommet puis relier les images.
Exercices — Transformations
Exercice 1
Sur un quadrillage, le point A(2 ; 1) a pour image A′(5 ; 3) par une translation.
- Décris cette translation avec des carreaux.
- Quelle est l’image du point B(4 ; 2) par cette même translation ?
Correction
1. On passe de A à A′ en se déplaçant de 3 carreaux vers la droite et 2 carreaux vers le haut.
2. B′(4 + 3 ; 2 + 2) = B′(7 ; 4).
Exercice 2
M′ est l’image de M par la rotation de centre O, d’angle 90°, dans le sens inverse des aiguilles d’une montre. On sait que OM = 6 cm.
- Que vaut OM′ ?
- Que vaut l’angle MOM′ ?
Correction
1. Une rotation conserve les distances au centre : OM′ = OM = 6 cm.
2. L’angle MOM′ vaut l’angle de la rotation : 90°.
Exercice 3
Un triangle a un périmètre de 18 cm et une aire de 12 cm². Quels sont le périmètre et l’aire de son image par une translation ? Justifie.
Correction
La translation conserve les longueurs et les aires. L’image a donc un périmètre de 18 cm et une aire de 12 cm².
Exercice 4
Dans une frise, un motif se répète tous les 4 cm vers la droite. Quelle transformation fait passer du 1ᵉʳ motif au 3ᵉ motif ?
Correction
C’est une translation de 8 cm vers la droite (2 répétitions de 4 cm dans la même direction et le même sens).
Évaluation — Transformations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Théorème de Pythagore
Vocabulaire et racine carrée
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse : c’est toujours le plus long des trois côtés.
La racine carrée d’un nombre positif a, notée √a, est le nombre positif dont le carré vaut a.
| Carré | Racine carrée |
|---|---|
| 72 = 49 | √49 = 7 |
| 122 = 144 | √144 = 12 |
| — | √2 ≈ 1,414 (valeur approchée) |
La touche √ de la calculatrice donne les valeurs approchées quand le résultat n’est pas un nombre entier.
Le théorème de Pythagore
Théorème : si un triangle ABC est rectangle en A, alors BC² = AB² + AC² (le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés).
Calculer l’hypoténuse : ABC est rectangle en A, avec AB = 6 cm et AC = 8 cm.
BC² = AB² + AC² BC² = 6² + 8² BC² = 36 + 64 = 100 BC = √100 = 10 cm
Le triangle 3-4-5 est le plus célèbre : 3² + 4² = 9 + 16 = 25 = 5².
Calculer un côté de l’angle droit
Quand on connaît l’hypoténuse et un côté, on soustrait les carrés.
Exemple : DEF est rectangle en D, avec EF = 13 cm (hypoténuse) et DE = 5 cm.
EF² = DE² + DF² 13² = 5² + DF² DF² = 169 − 25 = 144 DF = √144 = 12 cm
Pour l’hypoténuse, on additionne les carrés ; pour un côté de l’angle droit, on soustrait le carré du côté connu de celui de l’hypoténuse.
La réciproque du théorème
Réciproque : si, dans un triangle, le carré du plus grand côté est égal à la somme des carrés des deux autres, alors le triangle est rectangle (l’angle droit est opposé au plus grand côté).
Triangle 5 ; 12 ; 13
13² = 169.
5² + 12² = 25 + 144 = 169.
Égalité vérifiée : le triangle est rectangle, l’angle droit est opposé au côté de 13.
Triangle 4 ; 5 ; 6
6² = 36.
4² + 5² = 16 + 25 = 41.
36 ≠ 41 : le triangle n’est pas rectangle.
Bien rédiger
- Citer l’hypothèse : « Le triangle ABC est rectangle en A ».
- Citer le théorème : « D’après le théorème de Pythagore... ».
- Écrire l’égalité : BC² = AB² + AC².
- Remplacer par les valeurs, calculer, puis prendre la racine carrée.
- Conclure avec l’unité, en arrondissant si nécessaire (symbole ≈).
Exemple d’arrondi : si BC² = 52, alors BC = √52 ≈ 7,2 cm (au dixième près).
Mémo — Théorème de Pythagore
- Hypoténuse : côté opposé à l’angle droit, toujours le plus long.
- Théorème : triangle rectangle en A ⇒ BC² = AB² + AC².
- Hypoténuse : additionner les carrés puis prendre la racine. 6² + 8² = 100, BC = 10.
- Côté de l’angle droit : soustraire les carrés. 13² − 5² = 144, DF = 12.
- Réciproque : si (plus grand côté)² = somme des carrés des deux autres, le triangle est rectangle.
- Racine carrée : √49 = 7 ; √2 ≈ 1,414 ; utiliser la touche √ de la calculatrice.
- Triplets à connaître : 3-4-5 ; 6-8-10 ; 5-12-13.
- Piège : le théorème direct ne s’applique que si l’on sait déjà que le triangle est rectangle.
Exercices — Théorème de Pythagore
Exercice 1
Le triangle RST est rectangle en R, avec RS = 9 cm et RT = 12 cm. Calcule ST.
Correction
D’après le théorème de Pythagore : ST² = RS² + RT² = 81 + 144 = 225.
ST = √225 = 15 cm.
Exercice 2
Le triangle KLM est rectangle en K. On donne LM = 10 cm (hypoténuse) et KL = 6 cm. Calcule KM.
Correction
LM² = KL² + KM², donc KM² = LM² − KL² = 100 − 36 = 64.
KM = √64 = 8 cm.
Exercice 3
Un triangle a pour côtés 7 cm, 24 cm et 25 cm. Est-il rectangle ? Justifie.
Correction
Le plus grand côté mesure 25 cm : 25² = 625.
7² + 24² = 49 + 576 = 625.
Comme 25² = 7² + 24², d’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle est rectangle, et l’angle droit est opposé au côté de 25 cm.
Exercice 4
Une échelle de 5 m est appuyée contre un mur vertical. Son pied est à 1,4 m du mur. À quelle hauteur le haut de l’échelle touche-t-il le mur ? Arrondis au centimètre.
Correction
Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle dont l’échelle est l’hypoténuse.
h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04.
h = √23,04 = 4,80 m.
Évaluation — Théorème de Pythagore
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Cosinus d’un angle aigu
Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle ABC rectangle en A, pour l’angle aigu B̂ :
- [BC] est l’hypoténuse (côté opposé à l’angle droit) ;
- [AB] est le côté adjacent à l’angle B̂ : il touche l’angle B̂ sans être l’hypoténuse ;
- [AC] est le côté opposé à l’angle B̂ : il ne touche pas l’angle B̂.
Le côté adjacent dépend de l’angle choisi : le côté adjacent à B̂ est [AB], mais le côté adjacent à Ĉ est [AC].
Définition du cosinus
Dans un triangle rectangle, le cosinus d’un angle aigu est le quotient :
cos B̂ = côté adjacent à B̂ ÷ hypoténuse = AB/BC
- Le cosinus d’un angle aigu est toujours compris entre 0 et 1 (le côté adjacent est plus court que l’hypoténuse).
- Le cosinus ne dépend que de la mesure de l’angle, pas de la taille du triangle.
| Angle | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° |
|---|---|---|---|---|---|
| Cosinus (≈) | 1 | 0,866 | 0,707 | 0,5 | 0 |
Calculer une longueur avec le cosinus
ABC est rectangle en A, avec BC = 10 cm et B̂ = 60°. Calculons AB (côté adjacent à B̂) :
cos B̂ = AB/BC cos 60° = AB/10 AB = 10 × cos 60° = 10 × 0,5 = 5 cm
Si c’est l’hypoténuse qu’on cherche : DEF rectangle en D, DE = 5 cm (adjacent à Ê) et Ê = 35°.
cos 35° = DE/EF EF = DE ÷ cos 35° = 5 ÷ cos 35° ≈ 6,1 cm
Adjacent = hypoténuse × cosinus. Hypoténuse = adjacent ÷ cosinus. La calculatrice doit être en mode degrés.
Calculer un angle avec la calculatrice
Quand on connaît le cosinus d’un angle, on retrouve la mesure de l’angle avec la touche Arccos (notée aussi cos⁻¹) de la calculatrice.
Exemple : ABC est rectangle en A, AB = 7 cm et BC = 14 cm.
cos B̂ = AB/BC = 7/14 = 0,5 B̂ = Arccos(0,5) = 60°
Autre exemple : si cos B̂ = 0,8, alors B̂ = Arccos(0,8) ≈ 36,9° (arrondi au dixième de degré).
Mémo — Cosinus d’un angle aigu
- Définition : cos (angle) = côté adjacent ÷ hypoténuse (triangle rectangle uniquement).
- Le cosinus d’un angle aigu est compris entre 0 et 1.
- Valeurs repères : cos 0° = 1 ; cos 60° = 0,5 ; cos 90° = 0.
- Longueur : adjacent = hypoténuse × cos ; hypoténuse = adjacent ÷ cos.
- Angle : angle = Arccos(adjacent ÷ hypoténuse), avec la touche cos⁻¹.
- Calculatrice en mode degrés !
- Pièges : bien identifier le côté adjacent (il change selon l’angle) ; l’adjacent n’est jamais l’hypoténuse.
Exercices — Cosinus d’un angle aigu
Exercice 1
MNP est un triangle rectangle en M. Pour l’angle N̂, indique :
- l’hypoténuse ;
- le côté adjacent à N̂ ;
- l’expression de cos N̂.
Correction
1. L’hypoténuse est [NP] (opposée à l’angle droit M̂).
2. Le côté adjacent à N̂ est [MN].
3. cos N̂ = MN/NP.
Exercice 2
ABC est rectangle en A, avec BC = 12 cm et B̂ = 40°. Calcule AB, arrondi au dixième (cos 40° ≈ 0,766).
Correction
cos B̂ = AB/BC, donc AB = BC × cos 40° = 12 × 0,766 ≈ 9,2 cm.
Exercice 3
DEF est rectangle en D. Le côté adjacent à Ê mesure DE = 6 cm et Ê = 25°. Calcule l’hypoténuse EF, arrondie au dixième (cos 25° ≈ 0,906).
Correction
cos Ê = DE/EF, donc EF = DE ÷ cos 25° = 6 ÷ 0,906 ≈ 6,6 cm.
Exercice 4
GHI est rectangle en G, avec GH = 9 cm et HI = 15 cm (hypoténuse). Calcule la mesure de l’angle Ĥ, arrondie au degré.
Correction
cos Ĥ = GH/HI = 9/15 = 0,6.
Ĥ = Arccos(0,6) ≈ 53°.
Évaluation — Cosinus d’un angle aigu
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Agrandissement et réduction
Le coefficient k
Agrandir ou réduire une figure, c’est multiplier toutes ses longueurs par un même nombre positif k, appelé coefficient d’agrandissement ou de réduction.
- Si k > 1 : c’est un agrandissement (k = 3 : toutes les longueurs triplent).
- Si 0 < k < 1 : c’est une réduction (k = 0,5 : toutes les longueurs sont divisées par 2).
- Si k = 1 : la figure est inchangée.
Pour trouver k, on divise une longueur de la nouvelle figure par la longueur correspondante de la figure initiale : k = 15 ÷ 5 = 3.
Effet sur les longueurs et les angles
Dans un agrandissement ou une réduction de coefficient k :
- les longueurs sont multipliées par k ;
- les angles sont conservés (la forme ne change pas) ;
- le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.
Coefficient k = 3 : un côté de 4 cm devient 4 × 3 = 12 cm un angle de 50° reste un angle de 50°
Effet sur les aires et les volumes
Coefficient k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.
| Grandeur | Multipliée par | Exemple (k = 2) | Exemple (k = 3) |
|---|---|---|---|
| Longueur | k | × 2 | × 3 |
| Aire | k² | × 4 | × 9 |
| Volume | k³ | × 8 | × 27 |
Exemple : une aire de 5 cm² agrandie avec k = 4 devient 5 × 4² = 5 × 16 = 80 cm². Un volume de 10 cm³ agrandi avec k = 2 devient 10 × 2³ = 80 cm³.
Problèmes : maquettes et réductions
Une maquette est une réduction de la réalité. Si le coefficient est k = 1/100, chaque mètre réel devient 1 cm sur la maquette.
Réduction de coefficient k = 1/2 : longueurs × 1/2 (÷ 2) aires × 1/4 (÷ 4) volumes × 1/8 (÷ 8) Un volume réel de 96 cm³ devient 96 × 1/8 = 12 cm³.
Attention : quand on double les dimensions d’une boîte, sa contenance est multipliée par 8, pas par 2 !
Mémo — Agrandissement et réduction
- Coefficient k = nouvelle longueur ÷ longueur initiale.
- k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction.
- Longueurs × k ; aires × k² ; volumes × k³.
- Les angles, le parallélisme et la perpendicularité sont conservés.
- k = 2 : aires × 4, volumes × 8. k = 3 : aires × 9, volumes × 27.
- k = 1/2 : aires ÷ 4, volumes ÷ 8.
- Piège : ne jamais multiplier une aire par k ni un volume par k² — vérifier la nature de la grandeur avant de calculer.
Exercices — Agrandissement et réduction
Exercice 1
Un triangle a des côtés de 3 cm, 4 cm et 5 cm. On l’agrandit avec le coefficient k = 2,5.
- Calcule les longueurs des côtés de l’image.
- Les angles changent-ils ?
Correction
1. 3 × 2,5 = 7,5 cm ; 4 × 2,5 = 10 cm ; 5 × 2,5 = 12,5 cm.
2. Non : les angles sont conservés.
Exercice 2
Un rectangle de 6 cm sur 10 cm est réduit : son image mesure 3 cm sur 5 cm.
- Quel est le coefficient de réduction ?
- Compare l’aire de l’image à l’aire initiale.
Correction
1. k = 3 ÷ 6 = 1/2.
2. L’aire est multipliée par k² = 1/4. Vérification : aire initiale 60 cm², aire image 15 cm², et 60 × 1/4 = 15 ✔.
Exercice 3
L’aire d’une figure vaut 7 cm². On l’agrandit avec k = 3. Quelle est l’aire de l’image ?
Correction
L’aire est multipliée par k² = 9 : 7 × 9 = 63 cm².
Exercice 4
Une maquette de voiture est réalisée à l’échelle 1/20 (réduction de coefficient 1/20).
- La voiture réelle mesure 4 m de long. Quelle est la longueur de la maquette ?
- Le coffre réel a un volume de 400 L. Quel est le volume du coffre de la maquette ?
Correction
1. 4 m ÷ 20 = 0,2 m = 20 cm.
2. Le volume est multiplié par (1/20)³ = 1/8 000 : 400 ÷ 8 000 = 0,05 L = 5 cL.
Évaluation — Agrandissement et réduction
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Aires et volumes
Rappels : aires des figures usuelles
| Figure | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Rectangle | A = L × l | 7 × 4 = 28 cm² |
| Carré | A = c × c = c² | 5² = 25 cm² |
| Triangle | A = (b × h) ÷ 2 | (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm² |
| Parallélogramme | A = b × h | 8 × 3 = 24 cm² |
| Disque | A = π × r² | π × 5² = 25π ≈ 78,5 cm² |
Pour une figure complexe, on la découpe en figures simples, on calcule chaque aire, puis on additionne (ou on soustrait la partie enlevée).
Volume d’une pyramide
Une pyramide a une base polygonale (carré, rectangle, triangle...) et des faces latérales triangulaires qui se rejoignent au sommet. Sa hauteur h est la distance du sommet au plan de la base.
V = (B × h) ÷ 3 avec B : aire de la base, h : hauteur
Exemple : pyramide à base carrée de côté 6 cm et de hauteur 10 cm.
B = 6 × 6 = 36 cm² V = (36 × 10) ÷ 3 = 360 ÷ 3 = 120 cm³
Le volume d’une pyramide vaut le tiers du volume du prisme de même base et de même hauteur.
Volume d’un cône de révolution
Un cône de révolution a une base en forme de disque de rayon r et un sommet situé à la hauteur h au-dessus du centre de la base.
V = (π × r² × h) ÷ 3
Exemple : cône de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm.
V = (π × 3² × 10) ÷ 3 V = (π × 9 × 10) ÷ 3 V = 90π ÷ 3 = 30π ≈ 94,2 cm³
On peut donner la valeur exacte (30π cm³) ou une valeur approchée (≈ 94,2 cm³).
Conversions d’unités
Aires
Chaque unité vaut 100 fois la suivante.
1 m² = 10 000 cm²
1 km² = 1 000 000 m²
3 m² = 30 000 cm²
Volumes
Chaque unité vaut 1 000 fois la suivante.
1 m³ = 1 000 dm³
1 dm³ = 1 000 cm³
| Volume | Contenance | Exemple |
|---|---|---|
| 1 dm³ | 1 L | une brique de lait |
| 1 cm³ | 1 mL | un dé à jouer |
| 1 m³ | 1 000 L | 2,5 m³ = 2 500 L |
Mémo — Aires et volumes
- Aires : rectangle L × l ; triangle (b × h) ÷ 2 ; disque π r².
- Figure complexe : découper en figures simples, additionner ou soustraire les aires.
- Pyramide : V = (B × h) ÷ 3, avec B l’aire de la base.
- Cône : V = (π × r² × h) ÷ 3.
- Ne pas oublier de diviser par 3 — c’est l’erreur classique !
- Conversions d’aires : × 100 par unité (1 m² = 10 000 cm²).
- Conversions de volumes : × 1 000 par unité (1 m³ = 1 000 dm³).
- 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.
Exercices — Aires et volumes
Exercice 1
Une figure est composée d’un rectangle de 8 cm sur 5 cm surmonté d’un triangle de base 8 cm et de hauteur 3 cm. Calcule son aire totale.
Correction
Aire du rectangle : 8 × 5 = 40 cm².
Aire du triangle : (8 × 3) ÷ 2 = 12 cm².
Aire totale : 40 + 12 = 52 cm².
Exercice 2
Calcule le volume d’une pyramide à base rectangulaire de 9 cm sur 4 cm et de hauteur 7 cm.
Correction
B = 9 × 4 = 36 cm².
V = (36 × 7) ÷ 3 = 252 ÷ 3 = 84 cm³.
Exercice 3
Un cornet de glace a la forme d’un cône de rayon 3 cm et de hauteur 12 cm.
- Donne la valeur exacte de son volume.
- Donne la valeur arrondie au cm³.
Correction
1. V = (π × 3² × 12) ÷ 3 = (π × 9 × 12) ÷ 3 = 36π cm³.
2. 36π ≈ 113 cm³.
Exercice 4
Effectue les conversions :
- 4,2 m³ en litres
- 3 500 cm³ en dm³
- 2,5 m² en cm²
Correction
1. 4,2 m³ = 4 200 dm³ = 4 200 L.
2. 3 500 cm³ = 3,5 dm³.
3. 2,5 m² = 2,5 × 10 000 = 25 000 cm².
Évaluation — Aires et volumes
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Initiation à la pensée informatique
Algorithmes, programmes et événements
Un algorithme est une suite d’instructions ordonnées qui permet de résoudre un problème. Un programme est la traduction d’un algorithme dans un langage compréhensible par l’ordinateur, comme Scratch.
- Dans Scratch, un script démarre grâce à un événement : « quand le drapeau vert est cliqué », « quand la touche espace est pressée »...
- Les instructions s’exécutent dans l’ordre, de haut en bas.
- Plusieurs scripts (et plusieurs lutins) peuvent fonctionner en même temps.
Changer l’ordre des instructions peut changer complètement le résultat du programme.
Les variables
Une variable est une « boîte » qui porte un nom et qui mémorise une valeur pouvant changer pendant l’exécution : un score, un compteur de vies, une position...
mettre score à 0
répéter 3 fois :
ajouter 5 à score
── à la fin, score vaut 15
- « Mettre score à 0 » : on remplace la valeur de la variable.
- « Ajouter 5 à score » : on modifie la valeur actuelle.
- Un nom clair (score, vies, largeur) rend le programme lisible.
Les conditions : si... alors... sinon
Une instruction conditionnelle exécute des instructions seulement si une condition est vraie.
si score > 10 alors
dire « Gagné ! »
sinon
dire « Essaie encore »
- La condition est une affirmation vraie ou fausse : score > 10, touche espace pressée, x = 4...
- Le bloc « sinon » s’exécute uniquement quand la condition est fausse.
- Exemple : si x = 4 et que le test est « x > 3 », alors le programme affiche la branche « alors ».
Les boucles
Une boucle répète des instructions plusieurs fois, sans les réécrire.
Répéter n fois
Le nombre de répétitions est connu à l’avance.
répéter 4 fois : avancer de 50, tourner de 90° trace un carré.
Répéter indéfiniment
Les instructions se répètent tant que le programme tourne : utile pour tester en continu si un lutin touche un obstacle.
Astuce géométrique : pour tracer un polygone régulier à n côtés, on répète n fois « avancer, tourner de 360° ÷ n ». Un hexagone : répéter 6 fois « tourner de 60° ».
Les blocs personnalisés (fonctions)
Un bloc personnalisé (dans Scratch : « Mes blocs ») regroupe une suite d’instructions sous un seul nom : c’est la notion de fonction.
définir carré (longueur) :
répéter 4 fois :
avancer de (longueur)
tourner de 90°
carré (50) → trace un carré de côté 50
carré (100) → trace un carré de côté 100
- On définit le bloc une seule fois, puis on l’utilise autant de fois qu’on veut.
- Un paramètre (comme « longueur ») rend le bloc réutilisable avec des valeurs différentes.
- Les blocs personnalisés évitent les copier-coller et rendent le programme plus court et plus clair.
Mémo — Initiation à la pensée informatique
- Algorithme : suite d’instructions ordonnées. Programme : algorithme écrit dans un langage (Scratch).
- Événement : déclenche un script (drapeau vert, touche pressée).
- Variable : mémorise une valeur qui peut changer (score, vies). « Mettre à » remplace, « ajouter » modifie.
- Condition : si... alors... sinon. Le « sinon » s’exécute quand la condition est fausse.
- Boucle : répéter n fois (nombre connu) ou répéter indéfiniment.
- Polygone régulier à n côtés : répéter n fois « avancer, tourner de 360° ÷ n ». Carré : 4 × 90° ; hexagone : 6 × 60°.
- Bloc personnalisé = fonction : défini une fois, réutilisé partout, avec des paramètres.
Exercices — Initiation à la pensée informatique
Exercice 1
On exécute le script : « mettre points à 10 », puis « ajouter 3 à points », puis « ajouter 3 à points ».
- Quelle est la valeur finale de la variable points ?
- Réécris ce script avec une boucle.
Correction
1. 10 + 3 + 3 = 16.
2. « mettre points à 10 », puis « répéter 2 fois : ajouter 3 à points ».
Exercice 2
La variable âge vaut 15. Qu’affiche ce script ?
si âge ≥ 18 alors
dire « majeur »
sinon
dire « mineur »
Correction
La condition « âge ≥ 18 » est fausse (15 < 18), donc le programme exécute la branche sinon et affiche « mineur ».
Exercice 3
Quel polygone trace le script : « répéter 3 fois : avancer de 80, tourner de 120° » ? Justifie la valeur de l’angle.
Correction
Il trace un triangle équilatéral de côté 80. À chaque sommet, le lutin tourne de 120° car 360° ÷ 3 = 120° : après 3 répétitions, il a tourné de 360° en tout et revient à son point de départ.
Exercice 4
On définit le bloc « polygone (n, longueur) » qui répète n fois « avancer de (longueur), tourner de (360 ÷ n) degrés ».
- Que trace « polygone (4, 60) » ?
- Que trace « polygone (6, 40) » ?
- Quel est l’intérêt de ce bloc ?
Correction
1. Un carré de côté 60 (4 rotations de 90°).
2. Un hexagone régulier de côté 40 (6 rotations de 60°).
3. Un seul bloc suffit pour tracer tous les polygones réguliers : on évite de réécrire le même script pour chaque figure.
Évaluation — Initiation à la pensée informatique
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1