Cours
Nombres relatifs
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Cours — Nombres relatifs
Découvrir les nombres relatifs
Un nombre relatif est un nombre précédé d’un signe : + pour les nombres positifs, − pour les nombres négatifs.
- +7 ; +2,5 ; 0 ; 13 sont des nombres positifs.
- −3 ; −0,8 ; −15 sont des nombres négatifs.
- 0 est le seul nombre à la fois positif et négatif.
On les rencontre partout dans la vie courante :
| Situation | Nombre relatif |
|---|---|
| Température de 5 °C en dessous de zéro | −5 |
| Altitude de 320 m au-dessus de la mer | +320 |
| Sous-sol niveau 2 d’un parking | −2 |
| Gain de 12 € au jeu | +12 |
Deux nombres qui ne diffèrent que par leur signe sont dits opposés : l’opposé de −7 est +7, l’opposé de +3,5 est −3,5.
Repérage sur une droite graduée
Sur une droite graduée, chaque point est repéré par un nombre relatif appelé son abscisse.
- L’origine de la droite a pour abscisse 0.
- Les abscisses positives sont à droite de l’origine.
- Les abscisses négatives sont à gauche de l’origine.
Si A a pour abscisse −3 et B a pour abscisse +2, on note A(−3) et B(+2).
La distance à zéro d’un nombre relatif est le nombre sans son signe : la distance à zéro de −4,5 est 4,5. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro.
La distance entre deux points d’une droite graduée se calcule ainsi : si les abscisses sont de même signe, on soustrait les distances à zéro ; si elles sont de signes contraires, on les additionne. Exemple : la distance entre A(−4) et B(+6) vaut 4 + 6 = 10.
Comparer et ranger des nombres relatifs
- Un nombre positif est toujours plus grand qu’un nombre négatif : +1 > −100.
- Entre deux nombres positifs, le plus grand est celui qui a la plus grande distance à zéro : +7 > +2.
- Entre deux nombres négatifs, le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro : −3 > −8.
Exemples
−2 > −9
−0,5 < 0,1
−7,1 < −7
Astuce
Pense au thermomètre : −9 °C, il fait plus froid qu’à −2 °C, donc −9 < −2.
Rangement dans l’ordre croissant : −8 < −3,5 < −1 < 0 < +2,4 < +6.
Additionner deux nombres relatifs
Cas 1 — même signe : on additionne les distances à zéro et on garde le signe commun.
- (+3) + (+5) = +8
- (−4) + (−6) = −10
Cas 2 — signes contraires : on soustrait les distances à zéro et on prend le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro.
- (−5) + (+8) = +3 car 8 − 5 = 3 et 8 > 5.
- (+2) + (−9) = −7 car 9 − 2 = 7 et 9 > 2.
- (−6) + (+6) = 0 : la somme de deux opposés est nulle.
Imagine un jeu : les nombres positifs sont des gains, les négatifs des pertes. (−5) + (+8), c’est perdre 5 € puis gagner 8 € : au total on gagne 3 €.
Soustraire un nombre relatif
Règle : soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.
| Soustraction | Addition équivalente | Résultat |
|---|---|---|
| (+7) − (+12) | (+7) + (−12) | −5 |
| (−3) − (−8) | (−3) + (+8) | +5 |
| (−4) − (+6) | (−4) + (−6) | −10 |
| (+9) − (−2) | (+9) + (+2) | +11 |
Pour les écritures simplifiées, on supprime les parenthèses et les signes inutiles : (+7) + (−12) s’écrit 7 − 12 = −5, et (−3) − (−8) s’écrit −3 + 8 = 5.
Deux signes qui se suivent : − (−…) devient + et + (−…) devient −.
Mémo — Nombres relatifs
- Nombre relatif : nombre avec un signe + (positif) ou − (négatif). 0 est à la fois positif et négatif.
- Opposé : même distance à zéro, signe contraire. L’opposé de −7 est +7.
- Abscisse : nombre qui repère un point sur une droite graduée ; l’origine a pour abscisse 0.
- Comparer : positif > négatif ; entre deux négatifs, le plus grand est le plus proche de 0 (−3 > −8).
- Addition, même signe : on ajoute les distances à zéro, on garde le signe : (−4) + (−6) = −10.
- Addition, signes contraires : on soustrait les distances à zéro, on prend le signe du « plus fort » : (−5) + (+8) = +3.
- Somme de deux opposés : toujours 0. (+6) + (−6) = 0.
- Soustraire = ajouter l’opposé : a − b = a + (opposé de b). (−3) − (−8) = −3 + 8 = 5.
- Distance entre deux points : signes identiques → on soustrait les distances à zéro ; signes contraires → on les additionne.
- Pièges classiques : −7,1 < −7 (et non l’inverse) ; − (−5) = +5 ; ne pas oublier le signe dans le résultat.
Exercices — Nombres relatifs
Exercice 1
Donne l’opposé de chacun des nombres suivants :
- −8
- +3,5
- 0
- −12,7
Correction
L’opposé de −8 est +8 ; l’opposé de +3,5 est −3,5 ; l’opposé de 0 est 0 (0 est son propre opposé) ; l’opposé de −12,7 est +12,7. Deux nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires.
Exercice 2
Range dans l’ordre croissant : −5 ; +2 ; −0,5 ; 0 ; −7,2 ; +1,8.
Correction
Les négatifs d’abord, du plus éloigné de zéro au plus proche : −7,2 < −5 < −0,5. Puis 0, puis les positifs : +1,8 < +2. Donc : −7,2 < −5 < −0,5 < 0 < +1,8 < +2.
Exercice 3
Calcule les sommes suivantes :
- a) (−7) + (−5)
- b) (+9) + (−4)
- c) (−6) + (+13)
- d) (−8,5) + (+8,5)
Correction
a) Même signe : on ajoute 7 et 5, signe − : −12. b) Signes contraires : 9 − 4 = 5, signe du plus fort (+9) : +5. c) 13 − 6 = 7, signe de +13 : +7. d) Somme de deux opposés : 0.
Exercice 4
La température à Oslo est passée de −4 °C le matin à +6 °C l’après-midi.
- De combien de degrés la température a-t-elle augmenté ?
- Le soir, elle baisse de 9 °C par rapport à l’après-midi. Quelle est la température du soir ?
Correction
1) On calcule (+6) − (−4) = 6 + 4 = 10 : la température a augmenté de 10 °C (c’est la distance entre −4 et +6 sur l’axe des températures). 2) (+6) − 9 = −3 : il fait −3 °C le soir.
Évaluation — Nombres relatifs
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Nombres décimaux et calculs
Vocabulaire des opérations
Chaque opération a un nom, et son résultat aussi.
| Opération | Nom du résultat | Exemple |
|---|---|---|
| Addition | Somme | 12,4 + 3,6 = 16 : la somme des termes 12,4 et 3,6 |
| Soustraction | Différence | 15 − 8,5 = 6,5 : la différence des termes 15 et 8,5 |
| Multiplication | Produit | 2,5 × 4 = 10 : le produit des facteurs 2,5 et 4 |
| Division | Quotient | 18 ÷ 4 = 4,5 : le quotient de 18 par 4 |
Ce vocabulaire permet de traduire une phrase en calcul : « la somme du produit de 3 par 5 et de 2 » s’écrit 3 × 5 + 2.
Les priorités opératoires
Dans un calcul sans parenthèses, on effectue d’abord les multiplications et les divisions, puis les additions et les soustractions.
7 + 3 × 2 = 7 + 6 = 13
Attention : calculer de gauche à droite donnerait 20, ce qui est faux.
Les additions et soustractions seules (ou les multiplications et divisions seules) s’effectuent de gauche à droite :
20 − 5 + 3 = 15 + 3 = 18
Ordre des priorités : 1. les parenthèses, 2. les multiplications et divisions, 3. les additions et soustractions (de gauche à droite).
Les parenthèses
Les parenthèses indiquent le calcul à effectuer en premier, même si l’opération à l’intérieur n’est pas prioritaire.
Sans parenthèses
5 + 3 × 4 = 5 + 12 = 17
Avec parenthèses
(5 + 3) × 4 = 8 × 4 = 32
Quand il y a plusieurs niveaux de parenthèses, on commence par les plus intérieures :
20 − (2 × (7 − 4)) = 20 − (2 × 3) = 20 − 6 = 14
Multiplier et diviser des décimaux
Pour multiplier deux décimaux, on calcule sans les virgules puis on replace la virgule : le produit a autant de chiffres après la virgule que les deux facteurs réunis.
32 × 24 ---- 128 640 ---- 768 donc 3,2 × 2,4 = 7,68
Pour diviser par un décimal, on se ramène à une division par un entier en multipliant les deux nombres par 10, 100…
Exemple : 7,2 ÷ 0,4 = 72 ÷ 4 = 18.
- Multiplier par 0,5 revient à diviser par 2 : 46 × 0,5 = 23.
- Multiplier par 0,1 revient à diviser par 10 : 46 × 0,1 = 4,6.
- Multiplier par un nombre plus petit que 1 diminue le résultat.
Ordre de grandeur et vérification
Avant de calculer, on estime le résultat avec des valeurs arrondies simples : c’est un ordre de grandeur.
| Calcul exact | Ordre de grandeur | Estimation |
|---|---|---|
| 19,7 × 4,1 | 20 × 4 | ≈ 80 |
| 402,8 + 97,3 | 400 + 100 | ≈ 500 |
| 61,4 ÷ 2,9 | 60 ÷ 3 | ≈ 20 |
Un ordre de grandeur sert à vérifier qu’un résultat est plausible : si la calculatrice affiche 807,7 pour 19,7 × 4,1, c’est qu’il y a une erreur de saisie.
Mémo — Nombres décimaux et calculs
- Somme (addition), différence (soustraction), produit (multiplication), quotient (division).
- Priorités : 1) parenthèses, 2) × et ÷, 3) + et − de gauche à droite.
- 7 + 3 × 2 = 13 (et pas 20) : la multiplication passe avant l’addition.
- (5 + 3) × 4 = 32 : la parenthèse se calcule en premier.
- Parenthèses imbriquées : on commence par la plus intérieure.
- Multiplication de décimaux : on calcule sans virgule puis on replace la virgule (total des chiffres décimaux des deux facteurs).
- Division par un décimal : 7,2 ÷ 0,4 = 72 ÷ 4 = 18 (on multiplie les deux nombres par 10).
- × 0,5 = ÷ 2 ; × 0,1 = ÷ 10 ; × 0,25 = ÷ 4.
- Multiplier par un nombre < 1 diminue, diviser par un nombre < 1 augmente.
- Ordre de grandeur : arrondir pour estimer (19,7 × 4,1 ≈ 20 × 4 ≈ 80) et vérifier un résultat.
- Piège : sans parenthèses, ne jamais calculer systématiquement de gauche à droite.
Exercices — Nombres décimaux et calculs
Exercice 1
Calcule en respectant les priorités opératoires :
- 8 + 4 × 3
- 30 − 12 ÷ 4
- 5 × 6 − 2 × 7
Correction
1) 8 + 4 × 3 = 8 + 12 = 20. 2) 30 − 12 ÷ 4 = 30 − 3 = 27. 3) 5 × 6 − 2 × 7 = 30 − 14 = 16. On effectue toujours les multiplications et divisions avant les additions et soustractions.
Exercice 2
Calcule :
- (9 + 6) ÷ 3
- 4 × (10 − 2,5)
- 18 − (2 × (5 − 1))
Correction
1) (9 + 6) ÷ 3 = 15 ÷ 3 = 5. 2) 4 × (10 − 2,5) = 4 × 7,5 = 30. 3) On commence par la parenthèse intérieure : 5 − 1 = 4, puis 2 × 4 = 8, puis 18 − 8 = 10.
Exercice 3
Pose et effectue : 4,35 × 2,6. Vérifie ton résultat avec un ordre de grandeur.
Correction
On calcule 435 × 26 = 11 310. Les facteurs comptent en tout 3 chiffres après la virgule, donc 4,35 × 2,6 = 11,31. Ordre de grandeur : 4 × 3 = 12, le résultat 11,31 est cohérent.
Exercice 4
Léa achète 3 cahiers à 2,40 € l’un et un stylo à 1,85 €. Elle paie avec un billet de 10 €.
- Écris en une seule expression le montant de la dépense.
- Combien la caissière doit-elle lui rendre ?
Correction
1) La dépense s’écrit 3 × 2,40 + 1,85, soit 7,20 + 1,85 = 9,05 €. 2) La monnaie rendue : 10 − (3 × 2,40 + 1,85) = 10 − 9,05 = 0,95 €.
Évaluation — Nombres décimaux et calculs
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Fractions
Fractions égales
Une fraction ne change pas de valeur quand on multiplie (ou divise) son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
| Fraction de départ | Opération | Fraction égale |
|---|---|---|
| 3/4 | × 5 en haut et en bas | 15/20 |
| 2/3 | × 4 en haut et en bas | 8/12 |
| 18/24 | ÷ 6 en haut et en bas | 3/4 |
Pour tout nombre k non nul : a/b = (a × k)/(b × k). C’est la règle fondamentale des fractions.
Simplifier une fraction
Simplifier une fraction, c’est trouver une fraction égale avec un numérateur et un dénominateur plus petits. On divise le haut et le bas par un diviseur commun.
24/36 = (24 ÷ 2)/(36 ÷ 2) = 12/18 12/18 = (12 ÷ 6)/(18 ÷ 6) = 2/3
Quand on ne peut plus simplifier, la fraction est dite irréductible : 2/3 est irréductible.
- Critères utiles : un nombre est divisible par 2 s’il est pair, par 3 si la somme de ses chiffres l’est, par 5 s’il finit par 0 ou 5.
- On peut simplifier en plusieurs étapes ou en une seule (24/36 = 2/3 en divisant par 12).
Comparer des fractions
Même dénominateur : la plus grande est celle qui a le plus grand numérateur. Exemple : 5/7 > 3/7.
Dénominateurs différents : on réécrit les fractions avec le même dénominateur avant de comparer.
3/4 = 6/8 et 5/8 reste 5/8 6/8 > 5/8 donc 3/4 > 5/8
Repère utile
Une fraction est plus petite que 1 si son numérateur est plus petit que son dénominateur : 5/8 < 1.
Repère utile
Elle est plus grande que 1 si son numérateur dépasse son dénominateur : 9/4 > 1.
Additionner et soustraire des fractions
Même dénominateur : on additionne (ou soustrait) les numérateurs et on garde le dénominateur.
3/7 + 2/7 = 5/7 8/9 − 5/9 = 3/9 = 1/3
Dénominateurs multiples l’un de l’autre : on réécrit d’abord les fractions avec le même dénominateur.
1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 3/6 = 1/2
On n’additionne jamais les dénominateurs entre eux : 1/2 + 1/4 ≠ 2/6. Il faut d’abord mettre au même dénominateur.
Prendre une fraction d’une quantité
Prendre une fraction d’un nombre, c’est multiplier cette fraction par ce nombre. On peut calculer dans l’ordre le plus pratique.
3/4 de 24 = (24 ÷ 4) × 3 = 6 × 3 = 18 ou : (3 × 24) ÷ 4 = 72 ÷ 4 = 18
Exemple concret : dans une classe de 28 élèves, les 2/7 sont externes. Cela fait (28 ÷ 7) × 2 = 4 × 2 = 8 élèves.
- La moitié = 1/2, le tiers = 1/3, le quart = 1/4, les trois quarts = 3/4.
- Prendre 1/2 de 30, c’est 30 ÷ 2 = 15 ; prendre 3/10 de 50, c’est (50 ÷ 10) × 3 = 15.
Mémo — Fractions
- Fractions égales : a/b = (a × k)/(b × k) pour k non nul. 3/4 = 15/20.
- Simplifier : diviser numérateur et dénominateur par un diviseur commun. 24/36 = 2/3 (irréductible).
- Comparer, même dénominateur : plus grand numérateur = plus grande fraction (5/7 > 3/7).
- Comparer, dénominateurs différents : mettre au même dénominateur (3/4 = 6/8 > 5/8).
- Numérateur < dénominateur → fraction < 1 ; numérateur > dénominateur → fraction > 1.
- Additionner / soustraire (même dénominateur) : on opère sur les numérateurs. 3/7 + 2/7 = 5/7.
- Dénominateurs multiples : 1/2 + 1/4 = 2/4 + 1/4 = 3/4 ; 5/6 − 1/3 = 5/6 − 2/6 = 1/2.
- Fraction d’une quantité : 3/4 de 24 = (24 ÷ 4) × 3 = 18.
- Pièges : ne jamais additionner les dénominateurs ; toujours simplifier le résultat final ; 3/9 = 1/3.
Exercices — Fractions
Exercice 1
Simplifie au maximum les fractions suivantes :
- 15/20
- 18/24
- 35/50
Correction
1) 15/20 = (15 ÷ 5)/(20 ÷ 5) = 3/4. 2) 18/24 = (18 ÷ 6)/(24 ÷ 6) = 3/4. 3) 35/50 = (35 ÷ 5)/(50 ÷ 5) = 7/10. Toutes ces fractions sont maintenant irréductibles.
Exercice 2
Compare les fractions suivantes (utilise <, > ou =) :
- a) 4/9 et 7/9
- b) 3/5 et 7/10
- c) 6/8 et 3/4
Correction
a) Même dénominateur : 4/9 < 7/9. b) 3/5 = 6/10, donc 3/5 < 7/10. c) 6/8 = (6 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 3/4, donc 6/8 = 3/4.
Exercice 3
Calcule et simplifie si possible :
- 2/9 + 5/9
- 1/2 + 3/8
- 7/6 − 2/3
Correction
1) 2/9 + 5/9 = 7/9. 2) 1/2 = 4/8, donc 4/8 + 3/8 = 7/8. 3) 2/3 = 4/6, donc 7/6 − 4/6 = 3/6 = 1/2 après simplification.
Exercice 4
Un collège compte 480 élèves. Les 3/8 des élèves mangent à la cantine et le quart des élèves vient à vélo.
- Combien d’élèves mangent à la cantine ?
- Combien d’élèves viennent à vélo ?
Correction
1) 3/8 de 480 = (480 ÷ 8) × 3 = 60 × 3 = 180 élèves. 2) 1/4 de 480 = 480 ÷ 4 = 120 élèves.
Évaluation — Fractions
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Calcul littéral
Pourquoi utiliser des lettres ?
En mathématiques, une lettre représente un nombre dont on ne connaît pas la valeur, ou qui peut varier. Cela permet de généraliser un calcul.
| Situation | Expression littérale |
|---|---|
| Périmètre d’un carré de côté c | 4c |
| Périmètre d’un rectangle de dimensions L et l | 2(L + l) |
| Le double d’un nombre x augmenté de 3 | 2x + 3 |
| Prix de n cahiers à 2,50 € l’un | 2,5 × n = 2,5n |
Conventions d’écriture : on supprime le signe × devant une lettre ou une parenthèse. 3 × a s’écrit 3a ; 5 × (x + 2) s’écrit 5(x + 2) ; a × a s’écrit a² ; 1 × x s’écrit x.
Calculer la valeur d’une expression
Pour calculer une expression littérale, on remplace la lettre par sa valeur, en réintroduisant les signes × cachés, puis on applique les priorités opératoires.
Pour x = 4 :
3x + 5 = 3 × 4 + 5
= 12 + 5
= 17
Pour a = 3 et b = 7 :
2(a + b) = 2 × (3 + 7)
= 2 × 10
= 20
Développer avec la distributivité
La distributivité de la multiplication sur l’addition permet de transformer un produit en somme :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
- 5(x + 2) = 5x + 5 × 2 = 5x + 10
- 4(3x − 1) = 12x − 4
- 7(2a + 3b) = 14a + 21b
La distributivité sert aussi au calcul mental : 12 × 103 = 12 × (100 + 3) = 1 200 + 36 = 1 236.
Dans l’autre sens, on factorise : 6x + 9 = 3(2x + 3), car 3 est un facteur commun de 6x et 9.
Réduire une expression
Réduire une expression, c’est l’écrire avec le moins de termes possible en regroupant les termes « de même nature » : les termes en x ensemble, les nombres ensemble.
7x + 2 − 3x = 7x − 3x + 2
= 4x + 2
3(2x + 1) + 4x = 6x + 3 + 4x
= 10x + 3
Correct
2x + 3x = 5x
4x − x = 3x
Incorrect
2x + 3 ≠ 5x : on ne peut pas ajouter un terme en x et un nombre.
2x × 3x ≠ 6x (cela vaut 6x²).
Programmes de calcul
Une expression littérale traduit un programme de calcul. Exemple : « Choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 7 ».
- Si on note x le nombre choisi, le résultat s’écrit 3x + 7.
- Pour x = 5, on obtient 3 × 5 + 7 = 22.
- Pour x = 10, on obtient 3 × 10 + 7 = 37.
Deux programmes de calcul peuvent donner toujours le même résultat : « (x + 2) × 5 » et « 5x + 10 » sont équivalents grâce à la distributivité.
Mémo — Calcul littéral
- Conventions : 3 × a = 3a ; 5 × (x + 2) = 5(x + 2) ; a × a = a² ; 1x = x.
- Substituer : remplacer la lettre par sa valeur en remettant les × : pour x = 4, 3x + 5 = 3 × 4 + 5 = 17.
- Distributivité : k(a + b) = ka + kb ; k(a − b) = ka − kb.
- Exemples : 5(x + 2) = 5x + 10 ; 4(3x − 1) = 12x − 4.
- Factoriser (sens inverse) : 6x + 9 = 3(2x + 3).
- Réduire : regrouper les termes en x et les nombres : 7x + 2 − 3x = 4x + 2.
- Pièges : 2x + 3 ne se réduit pas en 5x ; 2x × 3x = 6x² (pas 6x) ; ne pas oublier de distribuer sur le second terme.
- Calcul mental : 12 × 103 = 12 × 100 + 12 × 3 = 1 236.
Exercices — Calcul littéral
Exercice 1
Écris plus simplement les expressions suivantes :
- 7 × x
- a × b × 3
- 2 × (y + 5)
- x × x
Correction
1) 7x. 2) 3ab (le nombre s’écrit devant les lettres). 3) 2(y + 5). 4) x².
Exercice 2
Calcule la valeur de chaque expression pour x = 3 :
- a) 5x + 4
- b) 2(x + 7)
- c) x² + 1
Correction
a) 5 × 3 + 4 = 15 + 4 = 19. b) 2 × (3 + 7) = 2 × 10 = 20. c) 3² + 1 = 9 + 1 = 10.
Exercice 3
Développe puis réduis :
- 3(x + 4)
- 5(2x − 3)
- 2(x + 1) + 3x
Correction
1) 3(x + 4) = 3x + 12. 2) 5(2x − 3) = 10x − 15. 3) 2(x + 1) + 3x = 2x + 2 + 3x = 5x + 2.
Exercice 4
Programme de calcul : « Choisir un nombre, ajouter 5, multiplier le résultat par 4 ».
- Applique le programme au nombre 3.
- Écris l’expression littérale du résultat quand on choisit le nombre x.
- Développe cette expression.
Correction
1) 3 + 5 = 8 puis 8 × 4 = 32. 2) Le résultat s’écrit 4(x + 5). 3) 4(x + 5) = 4x + 20 par distributivité. On vérifie : pour x = 3, 4 × 3 + 20 = 32.
Évaluation — Calcul littéral
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Équations
Qu’est-ce qu’une équation ?
Une équation est une égalité dans laquelle figure un nombre inconnu, souvent noté x. Résoudre l’équation, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie : ce sont les solutions.
| Équation | Membre de gauche | Membre de droite | Inconnue |
|---|---|---|---|
| x + 5 = 12 | x + 5 | 12 | x |
| 3y − 2 = 10 | 3y − 2 | 10 | y |
Une équation, c’est comme une balance en équilibre : ce qu’on fait à un membre, on doit le faire à l’autre pour conserver l’égalité.
Tester si un nombre est solution
Pour tester si un nombre est solution d’une équation, on remplace l’inconnue par ce nombre dans chaque membre et on compare les résultats.
Est-ce que 4 est solution de 2x + 1 = 9 ? Membre de gauche : 2 × 4 + 1 = 9 Membre de droite : 9 9 = 9 : OUI, 4 est solution.
Est-ce que 3 est solution de 2x + 1 = 9 ? Membre de gauche : 2 × 3 + 1 = 7 Membre de droite : 9 7 ≠ 9 : NON, 3 n’est pas solution.
Résoudre des équations simples
Équations du type x + a = b : on soustrait a aux deux membres.
x + 5 = 12 x = 12 − 5 x = 7
Équations du type ax = b : on divise les deux membres par a.
3x = 15 x = 15 ÷ 3 x = 5
Équations du type ax + b = c : on procède en deux étapes, d’abord l’addition ou la soustraction, puis la division.
2x + 3 = 11 2x = 11 − 3 2x = 8 x = 8 ÷ 2 x = 4
On vérifie toujours : 2 × 4 + 3 = 11. C’est correct.
Mettre un problème en équation
Beaucoup de problèmes se résolvent en quatre étapes :
- Choisir l’inconnue : « soit x le nombre cherché ».
- Traduire l’énoncé par une équation.
- Résoudre l’équation.
- Vérifier et conclure par une phrase.
Exemple : « Je pense à un nombre, je le multiplie par 2, j’ajoute 3 et j’obtiens 15. Quel est ce nombre ? »
Soit x le nombre pensé. 2x + 3 = 15 2x = 12 x = 6
Vérification : 2 × 6 + 3 = 15. Le nombre pensé est 6.
Mémo — Équations
- Équation : égalité avec une inconnue ; résoudre = trouver les valeurs qui rendent l’égalité vraie.
- Tester une valeur : remplacer x dans chaque membre et comparer (2 × 4 + 1 = 9 donc 4 est solution de 2x + 1 = 9).
- x + a = b → x = b − a. Exemple : x + 5 = 12 → x = 7.
- ax = b → x = b ÷ a. Exemple : 3x = 15 → x = 5.
- ax + b = c → d’abord ax = c − b, puis x = (c − b) ÷ a. Exemple : 2x + 3 = 11 → x = 4.
- Image de la balance : toute opération faite à gauche doit être faite à droite.
- Problème : choisir l’inconnue → mettre en équation → résoudre → vérifier et conclure.
- Pièges : toujours vérifier la solution dans l’équation de départ ; ne pas confondre 2x (produit) et x + 2 (somme).
Exercices — Équations
Exercice 1
Le nombre 5 est-il solution des équations suivantes ?
- x + 8 = 13
- 3x − 4 = 12
- 4x = 20
Correction
1) 5 + 8 = 13 : oui, 5 est solution. 2) 3 × 5 − 4 = 11 et 11 ≠ 12 : non. 3) 4 × 5 = 20 : oui, 5 est solution.
Exercice 2
Résous les équations suivantes :
- a) x + 9 = 15
- b) x − 7 = 3
- c) 6x = 42
Correction
a) x = 15 − 9 = 6. b) x = 3 + 7 = 10. c) x = 42 ÷ 6 = 7. Vérifications : 6 + 9 = 15 ; 10 − 7 = 3 ; 6 × 7 = 42.
Exercice 3
Résous les équations suivantes :
- 2x + 5 = 17
- 5x − 2 = 13
- 4x + 1 = 9
Correction
1) 2x = 17 − 5 = 12, donc x = 6. 2) 5x = 13 + 2 = 15, donc x = 3. 3) 4x = 9 − 1 = 8, donc x = 2. On vérifie chaque solution dans l’équation de départ.
Exercice 4
Un abonnement de cinéma coûte 12 €, puis chaque séance coûte 4 €. Malik a dépensé 36 € en tout ce mois-ci.
- En notant x le nombre de séances, écris une équation traduisant la situation.
- Résous-la et conclus.
Correction
1) La dépense totale est l’abonnement plus les séances : 4x + 12 = 36. 2) 4x = 36 − 12 = 24, donc x = 24 ÷ 4 = 6. Vérification : 4 × 6 + 12 = 36. Malik a vu 6 séances.
Évaluation — Équations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Proportionnalité
Reconnaître une situation de proportionnalité
Deux grandeurs sont proportionnelles quand on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, appelé coefficient de proportionnalité.
| Masse de pommes (kg) | 2 | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 7,50 | 12,50 | 20 |
Ici, 5 ÷ 2 = 7,50 ÷ 3 = 12,50 ÷ 5 = 20 ÷ 8 = 2,5 : le tableau est un tableau de proportionnalité, de coefficient 2,5 (le prix d’un kilogramme).
Proportionnel
Prix et masse de fruits, distance et durée à vitesse constante, quantités d’une recette.
Non proportionnel
L’âge et la taille d’une personne, le prix d’un forfait avec abonnement fixe.
Compléter un tableau de proportionnalité
Plusieurs méthodes sont possibles :
- Le coefficient de proportionnalité : on multiplie chaque valeur de la première ligne par le coefficient.
- Le passage par l’unité : 4 objets coûtent 10 € → 1 objet coûte 2,50 € → 7 objets coûtent 17,50 €.
- Les propriétés d’additivité et de multiplication : si 2 kg coûtent 5 € et 3 kg coûtent 7,50 €, alors 5 kg coûtent 5 + 7,50 = 12,50 € ; et 4 kg coûtent 2 × 5 = 10 €.
Quatrième proportionnelle : trouver x tel que 6/4 = x/10. On calcule x = (6 × 10) ÷ 4 = 15.
Dans un tableau de proportionnalité, les produits en croix sont égaux : si a/b = c/d, alors a × d = b × c.
Appliquer un pourcentage
Appliquer t % à une quantité, c’est la multiplier par t/100.
| Calcul demandé | Opération | Résultat |
|---|---|---|
| 25 % de 80 | 80 × 25/100 = 80 ÷ 4 | 20 |
| 30 % de 150 | 150 × 30/100 | 45 |
| 50 % de 62 | 62 ÷ 2 | 31 |
| 10 % de 74 | 74 ÷ 10 | 7,4 |
Réduction : un article à 60 € est soldé à −20 %. La réduction vaut 60 × 20/100 = 12 €, donc le nouveau prix est 60 − 12 = 48 €.
- 50 % = la moitié ; 25 % = le quart ; 10 % = le dixième ; 100 % = la totalité.
Les échelles
Sur un plan à l’échelle 1/100, 1 cm sur le plan représente 100 cm (soit 1 m) dans la réalité. Les longueurs sur le plan sont proportionnelles aux longueurs réelles.
échelle = longueur sur le plan ÷ longueur réelle (dans la même unité)
| Échelle | 1 cm sur le plan représente… | Exemple |
|---|---|---|
| 1/100 | 100 cm = 1 m | 3 cm → 3 m réels |
| 1/25 000 | 25 000 cm = 250 m | 4 cm → 1 km réel |
| 2/1 (agrandissement) | 0,5 cm réel | utile pour les petits objets |
Une échelle plus petite que 1 correspond à une réduction (cartes, plans) ; une échelle plus grande que 1 à un agrandissement (schémas d’objets minuscules).
Mémo — Proportionnalité
- Proportionnalité : on passe d’une grandeur à l’autre en multipliant par un même nombre (le coefficient).
- Vérifier un tableau : tous les quotients colonne par colonne doivent être égaux.
- Passage par l’unité : 4 objets → 10 €, donc 1 objet → 2,50 €, donc 7 objets → 17,50 €.
- Additivité : les valeurs de deux colonnes peuvent s’ajouter (2 kg + 3 kg → prix de 5 kg).
- Quatrième proportionnelle : a/b = x/c → x = (a × c) ÷ b.
- Pourcentage : t % d’une quantité = quantité × t/100. 25 % de 80 = 20.
- Raccourcis : 50 % = ÷ 2 ; 25 % = ÷ 4 ; 10 % = ÷ 10.
- Réduction de t % : nouveau prix = prix − prix × t/100 (60 € à −20 % → 48 €).
- Échelle : longueur plan ÷ longueur réelle (même unité). Échelle 1/100 : 1 cm ↔ 1 m.
- Piège : l’âge et la taille ne sont pas proportionnels ; toujours vérifier le coefficient avant de conclure.
Exercices — Proportionnalité
Exercice 1
Le tableau suivant est-il un tableau de proportionnalité ?
| Nombre de croissants | 3 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 3,60 | 6 | 9,60 |
Correction
On calcule les quotients : 3,60 ÷ 3 = 1,20 ; 6 ÷ 5 = 1,20 ; 9,60 ÷ 8 = 1,20. Tous les quotients sont égaux à 1,20, donc oui, c’est un tableau de proportionnalité de coefficient 1,20 (prix d’un croissant).
Exercice 2
6 litres d’essence coûtent 10,80 €.
- Quel est le prix d’un litre ?
- Combien coûtent 15 litres ?
Correction
1) Passage par l’unité : 10,80 ÷ 6 = 1,80 € le litre. 2) 15 × 1,80 = 27 €.
Exercice 3
Calcule :
- a) 25 % de 84 €
- b) 30 % de 250 g
- c) le prix final d’un jean à 40 € soldé à −15 %
Correction
a) 84 ÷ 4 = 21 €. b) 250 × 30/100 = 75 g. c) Réduction : 40 × 15/100 = 6 € ; prix final : 40 − 6 = 34 €.
Exercice 4
Sur un plan à l’échelle 1/200, le salon mesure 3,5 cm de long.
- Quelle est la longueur réelle du salon ?
- Le couloir mesure 6 m dans la réalité. Quelle longueur mesure-t-il sur le plan ?
Correction
1) 3,5 × 200 = 700 cm = 7 m. 2) 6 m = 600 cm ; 600 ÷ 200 = 3 cm sur le plan.
Évaluation — Proportionnalité
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Statistiques et probabilités
Effectifs et fréquences
Une série statistique regroupe des données. L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît ; l’effectif total est le nombre total de données.
La fréquence d’une valeur est le quotient de son effectif par l’effectif total :
fréquence = effectif ÷ effectif total
Exemple : sports préférés de 30 élèves.
| Sport | Football | Basket | Natation | Danse | Total |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 12 | 9 | 6 | 3 | 30 |
| Fréquence | 0,4 | 0,3 | 0,2 | 0,1 | 1 |
| Fréquence en % | 40 % | 30 % | 20 % | 10 % | 100 % |
La somme des fréquences vaut toujours 1 (ou 100 %). Une fréquence peut s’écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage : 12/30 = 0,4 = 40 %.
Calculer une moyenne
La moyenne d’une série se calcule en additionnant toutes les valeurs, puis en divisant par le nombre de valeurs.
Notes : 8 ; 12 ; 10 moyenne = (8 + 12 + 10) ÷ 3 = 30 ÷ 3 = 10
Quand les valeurs se répètent, on utilise la moyenne pondérée par les effectifs :
| Note | 8 | 10 | 14 |
|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 3 | 5 |
moyenne = (8 × 2 + 10 × 3 + 14 × 5) ÷ 10
= (16 + 30 + 70) ÷ 10
= 116 ÷ 10 = 11,6
Lire et interpréter des diagrammes
- Diagramme en bâtons : la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif.
- Diagramme circulaire : l’angle de chaque secteur est proportionnel à l’effectif ; le total des angles vaut 360°.
- Graphique cartésien : il montre l’évolution d’une grandeur (par exemple, la température au fil des heures).
Pour un diagramme circulaire : si une valeur représente 25 % de l’effectif total, son secteur mesure 360 × 25/100 = 90°.
Angle d’un secteur = 360° × fréquence de la valeur. On vérifie que la somme des angles fait bien 360°.
Vocabulaire des probabilités
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une carte). Chaque résultat possible est une issue. Un événement est constitué d’une ou plusieurs issues.
- Lancer un dé à 6 faces : les issues sont 1, 2, 3, 4, 5, 6.
- « Obtenir un nombre pair » est un événement composé des issues 2, 4 et 6.
- Un événement impossible a une probabilité de 0 ; un événement certain a une probabilité de 1.
Une probabilité est toujours un nombre compris entre 0 et 1. Elle peut s’écrire en fraction, en décimal ou en pourcentage.
Calculer une probabilité en situation d’équiprobabilité
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité), la probabilité d’un événement se calcule ainsi :
p = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles
| Expérience | Événement | Probabilité |
|---|---|---|
| Pièce équilibrée | Obtenir pile | 1/2 |
| Dé à 6 faces | Obtenir 6 | 1/6 |
| Dé à 6 faces | Obtenir un nombre pair | 3/6 = 1/2 |
| Urne : 3 boules rouges, 2 bleues | Tirer une rouge | 3/5 |
Plus la probabilité est proche de 1, plus l’événement a de chances de se réaliser.
Mémo — Statistiques et probabilités
- Effectif : nombre d’apparitions d’une valeur ; effectif total : nombre total de données.
- Fréquence = effectif ÷ effectif total. La somme des fréquences vaut 1 (100 %).
- Moyenne = somme des valeurs ÷ nombre de valeurs. Moyenne de 8, 12, 10 : 30 ÷ 3 = 10.
- Moyenne pondérée = somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total.
- Diagramme circulaire : angle du secteur = 360° × fréquence (25 % → 90°).
- Expérience aléatoire : résultat imprévisible ; issue : résultat possible ; événement : ensemble d’issues.
- Probabilité : nombre entre 0 (impossible) et 1 (certain).
- Équiprobabilité : p = issues favorables ÷ issues possibles. Dé : p(6) = 1/6 ; p(pair) = 3/6 = 1/2.
- Pièges : ne pas oublier de diviser par l’effectif total (et non le nombre de valeurs différentes) pour une moyenne pondérée ; une probabilité supérieure à 1 est forcément fausse.
Exercices — Statistiques et probabilités
Exercice 1
On a demandé leur couleur préférée à 25 élèves : bleu (10), rouge (7), vert (5), jaune (3).
- Quel est l’effectif total ?
- Calcule la fréquence de chaque couleur en pourcentage.
Correction
1) 10 + 7 + 5 + 3 = 25. 2) Bleu : 10/25 = 0,4 = 40 % ; rouge : 7/25 = 0,28 = 28 % ; vert : 5/25 = 0,2 = 20 % ; jaune : 3/25 = 0,12 = 12 %. Vérification : 40 + 28 + 20 + 12 = 100 %.
Exercice 2
Voici les notes de Chloé en mathématiques : 11 ; 14 ; 9 ; 16 ; 15.
- Calcule sa moyenne.
- Quelle note doit-elle obtenir au sixième contrôle pour avoir 13,5 de moyenne ?
Correction
1) (11 + 14 + 9 + 16 + 15) ÷ 5 = 65 ÷ 5 = 13. 2) Pour une moyenne de 13,5 sur 6 notes, il faut un total de 13,5 × 6 = 81. Il lui manque 81 − 65 = 16.
Exercice 3
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calcule la probabilité de chaque événement :
- a) « Obtenir 3 »
- b) « Obtenir un nombre impair »
- c) « Obtenir un nombre inférieur ou égal à 4 »
- d) « Obtenir 7 »
Correction
a) 1 issue favorable sur 6 : 1/6. b) Issues 1, 3, 5 : 3/6 = 1/2. c) Issues 1, 2, 3, 4 : 4/6 = 2/3. d) Aucune issue favorable : probabilité 0 (événement impossible).
Exercice 4
Un sac contient 4 boules rouges, 5 boules vertes et 3 boules noires, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule noire ?
Correction
Il y a 4 + 5 + 3 = 12 boules. 1) p(verte) = 5/12. 2) Il y a 12 − 3 = 9 boules non noires, donc p = 9/12 = 3/4.
Évaluation — Statistiques et probabilités
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Symétrie centrale
Définition
Deux figures sont symétriques par rapport à un point O si elles se superposent après un demi-tour (rotation de 180°) autour de O. Le point O est le centre de symétrie.
Symétrie axiale (6ᵉ)
Pliage le long d’une droite (l’axe). L’image est « retournée » comme dans un miroir.
Symétrie centrale (5ᵉ)
Demi-tour autour d’un point (le centre). L’image est « à l’envers », tête en bas.
Le symétrique du point A par rapport à O est le point A' tel que O est le milieu du segment [AA'].
Construire le symétrique d’un point
Pour construire le symétrique A' d’un point A par rapport à un centre O :
- Tracer la demi-droite [AO) et la prolonger au-delà de O.
- Mesurer la distance OA (à la règle ou au compas).
- Reporter cette distance de l’autre côté de O : on obtient A' avec OA' = OA.
Exemple : si OA = 4 cm, alors OA' = 4 cm et la longueur totale AA' = 8 cm.
Pour construire le symétrique d’une figure, on construit le symétrique de chacun de ses points caractéristiques (sommets, centre d’un cercle…), puis on relie.
Propriétés de conservation
La symétrie centrale conserve :
| Objet de départ | Son image | Ce qui est conservé |
|---|---|---|
| Un segment | Un segment parallèle | Sa longueur |
| Une droite | Une droite parallèle | L’alignement |
| Un angle | Un angle | Sa mesure |
| Un cercle | Un cercle | Son rayon |
| Une figure | Une figure superposable | Son aire et son périmètre |
La symétrie centrale conserve les longueurs, les angles, les aires et l’alignement. L’image d’une droite est une droite qui lui est parallèle : c’est la grande différence avec la symétrie axiale.
Centre de symétrie d’une figure
Une figure possède un centre de symétrie si elle se superpose à elle-même après un demi-tour autour de ce point.
- Un segment : son milieu est son centre de symétrie.
- Un rectangle, un losange, un carré : le point d’intersection des diagonales.
- Un cercle : son centre.
- Un parallélogramme : le point d’intersection de ses diagonales.
- Un triangle n’a jamais de centre de symétrie.
Parmi les lettres majuscules, S, N, Z, H, O et X possèdent un centre de symétrie ; A, B, E n’en ont pas (elles ont un axe).
Mémo — Symétrie centrale
- Définition : demi-tour (180°) autour d’un point O, le centre de symétrie.
- Symétrique d’un point : A' tel que O est le milieu de [AA'] (OA = OA').
- Si OA = 4 cm, alors AA' = 8 cm.
- Construction : prolonger [AO) au-delà de O et reporter la distance OA au compas.
- Conservation : longueurs, angles, aires, périmètres, alignement.
- Image d’une droite : une droite parallèle ; image d’un cercle : cercle de même rayon.
- Centres de symétrie usuels : milieu d’un segment ; intersection des diagonales (rectangle, losange, carré, parallélogramme) ; centre du cercle.
- Un triangle n’a jamais de centre de symétrie. Lettres avec centre : S, N, Z, H, O, X.
- Piège : ne pas confondre avec la symétrie axiale (pliage le long d’une droite) ; en symétrie centrale, la figure image est « tête en bas ».
Exercices — Symétrie centrale
Exercice 1
Place trois points A, B et O non alignés sur une feuille.
- Construis A', symétrique de A par rapport à O.
- Construis B', symétrique de B par rapport à O.
- Que peut-on dire des longueurs AB et A'B' ?
Correction
1) et 2) On prolonge [AO) et [BO) au-delà de O et on reporte les distances : OA' = OA et OB' = OB. 3) La symétrie centrale conserve les longueurs, donc A'B' = AB. De plus, les droites (AB) et (A'B') sont parallèles.
Exercice 2
Le point M' est le symétrique de M par rapport à O, et OM = 3,5 cm.
- Quelle est la longueur OM' ?
- Quelle est la longueur MM' ?
- Quel est le milieu de [MM'] ?
Correction
1) OM' = OM = 3,5 cm. 2) MM' = 3,5 + 3,5 = 7 cm. 3) Par définition de la symétrie centrale, O est le milieu de [MM'].
Exercice 3
Un triangle ABC a un périmètre de 15 cm et une aire de 9 cm². On construit son symétrique A'B'C' par rapport à un point O.
- Quel est le périmètre de A'B'C' ?
- Quelle est son aire ?
- L’angle en A mesure 52°. Que mesure l’angle en A' ?
Correction
La symétrie centrale conserve les longueurs, les aires et les angles. 1) Périmètre de A'B'C' : 15 cm. 2) Aire : 9 cm². 3) Angle en A' : 52°.
Exercice 4
Pour chaque figure, indique si elle possède un centre de symétrie et, si oui, où il se trouve : un rectangle, un triangle équilatéral, un cercle, la lettre S, la lettre A.
Correction
Rectangle : oui, à l’intersection de ses diagonales. Triangle équilatéral : non (aucun triangle n’a de centre de symétrie ; il a seulement 3 axes). Cercle : oui, son centre. Lettre S : oui, en son milieu. Lettre A : non, elle a un axe de symétrie vertical mais pas de centre.
Évaluation — Symétrie centrale
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Angles et droites
Couples d’angles particuliers
| Nom | Définition | Propriété |
|---|---|---|
| Angles adjacents | Même sommet, un côté commun, situés de part et d’autre de ce côté | Leurs mesures s’ajoutent |
| Angles opposés par le sommet | Même sommet, côtés dans le prolongement l’un de l’autre | Ils sont égaux |
| Angles complémentaires | Deux angles dont la somme vaut 90° | 35° et 55° sont complémentaires |
| Angles supplémentaires | Deux angles dont la somme vaut 180° | 110° et 70° sont supplémentaires |
Moyen mnémotechnique : Complémentaires → Coin (90°, un angle droit) ; Supplémentaires → angle plat, 180° (S comme « demi-tour Sur une droite »).
Deux droites coupées par une sécante
Quand une droite (la sécante) coupe deux autres droites, elle forme 8 angles. Certains couples portent un nom :
- Angles alternes-internes : situés entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante, et de sommets différents.
- Angles correspondants : situés du même côté de la sécante, l’un entre les deux droites, l’autre à l’extérieur.
Ces noms décrivent seulement la position des angles : ils n’imposent rien sur leurs mesures tant que les droites ne sont pas parallèles.
Le cas des droites parallèles
Propriété directe : si deux droites parallèles sont coupées par une sécante, alors :
- les angles alternes-internes sont égaux ;
- les angles correspondants sont égaux.
Propriété réciproque : si deux droites coupées par une sécante forment deux angles alternes-internes (ou correspondants) égaux, alors ces deux droites sont parallèles.
Les droites (d) et (d') sont parallèles. Un angle alterne-interne mesure 62°. Alors l’angle alterne-interne associé mesure aussi 62°.
La propriété directe sert à calculer des angles quand on sait que les droites sont parallèles ; la réciproque sert à prouver que deux droites sont parallèles.
Calculer des mesures d’angles
Les propriétés précédentes permettent de calculer des angles sans rapporteur, en justifiant chaque étape.
| Donnée | Justification | Conclusion |
|---|---|---|
| Un angle de 35° et son complémentaire | 35 + x = 90 | x = 55° |
| Un angle de 110° et son supplémentaire | 110 + x = 180 | x = 70° |
| Deux angles opposés par le sommet, l’un de 48° | Angles opposés par le sommet égaux | L’autre mesure 48° |
| Alternes-internes, droites parallèles, l’un de 62° | Propriété des parallèles | L’autre mesure 62° |
Rédaction attendue : « Les angles … sont opposés par le sommet, donc ils sont égaux. Ainsi l’angle … mesure 48°. »
Mémo — Angles et droites
- Adjacents : même sommet, un côté commun, de part et d’autre de ce côté.
- Opposés par le sommet : toujours égaux.
- Complémentaires : somme = 90° (complément de 35° → 55°).
- Supplémentaires : somme = 180° (supplément de 110° → 70°).
- Alternes-internes : entre les deux droites, de part et d’autre de la sécante.
- Correspondants : du même côté de la sécante, l’un « dedans », l’autre « dehors ».
- Droites parallèles + sécante → alternes-internes égaux et correspondants égaux.
- Réciproque : alternes-internes (ou correspondants) égaux → droites parallèles.
- Pièges : sans parallélisme, les alternes-internes ne sont pas forcément égaux ; ne pas confondre complémentaires (90°) et supplémentaires (180°).
Exercices — Angles et droites
Exercice 1
Donne la mesure :
- du complémentaire d’un angle de 27° ;
- du supplémentaire d’un angle de 134° ;
- du complémentaire du complémentaire d’un angle de 40°.
Correction
1) 90 − 27 = 63°. 2) 180 − 134 = 46°. 3) Le complémentaire de 40° est 50°, et le complémentaire de 50° est 40° : on retombe sur l’angle de départ.
Exercice 2
Deux droites se coupent en un point O et forment quatre angles. L’un d’eux mesure 48°.
- Quelle est la mesure de l’angle opposé par le sommet ?
- Quelles sont les mesures des deux autres angles ?
Correction
1) Les angles opposés par le sommet sont égaux : 48°. 2) Chacun des deux autres angles est supplémentaire de 48° (angles adjacents formant un angle plat) : 180 − 48 = 132° chacun. Vérification : 48 + 132 + 48 + 132 = 360°.
Exercice 3
Les droites (d) et (d') sont parallèles et coupées par une sécante. Un des angles alternes-internes mesure 74°.
- Quelle est la mesure de l’autre angle alterne-interne ? Justifie.
- Quelle est la mesure de l’angle correspondant associé ?
Correction
1) Comme (d) et (d') sont parallèles, les angles alternes-internes sont égaux : l’autre mesure 74°. 2) Les angles correspondants formés par deux parallèles et une sécante sont égaux, donc 74° également.
Exercice 4
Une sécante coupe deux droites (d₁) et (d₂). Deux angles alternes-internes mesurent 81° et 81°.
- Que peut-on en conclure pour (d₁) et (d₂) ? Justifie.
- Si les deux angles avaient mesuré 81° et 79°, quelle aurait été la conclusion ?
Correction
1) Les angles alternes-internes sont égaux, donc d’après la propriété réciproque, (d₁) et (d₂) sont parallèles. 2) Les angles ne sont pas égaux, donc les droites ne sont pas parallèles : elles sont sécantes.
Évaluation — Angles et droites
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Triangles
L’inégalité triangulaire
Dans un triangle, la longueur de chaque côté est inférieure à la somme des longueurs des deux autres côtés.
Pour savoir si un triangle de côtés a, b, c est constructible, il suffit de vérifier que le plus grand côté est inférieur à la somme des deux autres.
| Côtés proposés | Test (plus grand côté) | Constructible ? |
|---|---|---|
| 5 cm ; 6 cm ; 8 cm | 8 < 5 + 6 = 11 | Oui |
| 3 cm ; 4 cm ; 8 cm | 8 > 3 + 4 = 7 | Non |
| 2 cm ; 5 cm ; 7 cm | 7 = 2 + 5 | Non : les points sont alignés (triangle aplati) |
La somme des angles d’un triangle
Dans tout triangle, la somme des mesures des trois angles vaut 180°.
Un triangle a deux angles de 50° et 60°.
Troisième angle = 180 − (50 + 60)
= 180 − 110
= 70°
Cette propriété permet aussi de démontrer qu’un triangle est impossible : un triangle avec deux angles de 95° et 100° n’existe pas, car 95 + 100 = 195 > 180.
Les triangles particuliers
| Triangle | Côtés | Angles |
|---|---|---|
| Isocèle | Deux côtés égaux | Les deux angles à la base sont égaux |
| Équilatéral | Trois côtés égaux | Trois angles de 60° |
| Rectangle | — | Un angle droit (90°) ; les deux angles aigus sont complémentaires |
| Rectangle isocèle | Deux côtés égaux | 90°, 45°, 45° |
Exemple : dans un triangle isocèle dont l’angle au sommet mesure 40°, les deux angles à la base mesurent chacun (180 − 40) ÷ 2 = 70°.
Exemple : dans un triangle rectangle, si un angle aigu mesure 35°, l’autre mesure 90 − 35 = 55°.
Construire un triangle
Avec les trois côtés (par exemple AB = 6 cm, AC = 4 cm, BC = 5 cm) :
- Tracer le segment [AB] de 6 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre A et de rayon 4 cm.
- Tracer un arc de cercle de centre B et de rayon 5 cm.
- Le point C est à l’intersection des deux arcs ; tracer [AC] et [BC].
Avec un côté et deux angles : on trace le côté, puis on reporte chaque angle au rapporteur à ses extrémités.
Avec deux côtés et l’angle entre eux : on trace le premier côté, on construit l’angle au rapporteur, puis on reporte la longueur du second côté.
Avant de construire, on vérifie l’inégalité triangulaire (avec trois côtés) ou que la somme des deux angles donnés est inférieure à 180°.
Mémo — Triangles
- Inégalité triangulaire : chaque côté < somme des deux autres. Test rapide : vérifier le plus grand côté.
- Si le plus grand côté = somme des deux autres → points alignés, pas de vrai triangle.
- Somme des angles = 180° dans tout triangle. Troisième angle = 180 − (somme des deux autres).
- Isocèle : 2 côtés égaux, angles à la base égaux. Angle au sommet 40° → base : (180 − 40) ÷ 2 = 70°.
- Équilatéral : 3 côtés égaux, 3 angles de 60°.
- Rectangle : un angle de 90° ; les deux angles aigus sont complémentaires (35° → 55°).
- Construction aux 3 côtés : un segment + deux arcs de cercle au compas.
- Pièges : vérifier la constructibilité avant de tracer ; 3 + 4 = 7 < 8 → le triangle 3-4-8 n’existe pas.
Exercices — Triangles
Exercice 1
Les triangles suivants sont-ils constructibles ? Justifie.
- Côtés de 4 cm, 7 cm et 9 cm
- Côtés de 2 cm, 3 cm et 6 cm
- Côtés de 5 cm, 5 cm et 10 cm
Correction
1) 9 < 4 + 7 = 11 : constructible. 2) 6 > 2 + 3 = 5 : non constructible. 3) 10 = 5 + 5 : non constructible en vrai triangle, les trois points seraient alignés.
Exercice 2
Calcule la mesure de l’angle manquant :
- a) Un triangle a des angles de 64° et 71°.
- b) Un triangle rectangle a un angle aigu de 28°.
- c) Un triangle isocèle a un angle au sommet de 52°.
Correction
a) 180 − (64 + 71) = 180 − 135 = 45°. b) Les angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : 90 − 28 = 62°. c) Les angles à la base valent (180 − 52) ÷ 2 = 128 ÷ 2 = 64° chacun.
Exercice 3
Construis le triangle DEF tel que DE = 7 cm, DF = 5 cm et EF = 4 cm, puis décris ta méthode.
Correction
On vérifie d’abord : 7 < 5 + 4 = 9, le triangle est constructible. Méthode : tracer [DE] de 7 cm ; tracer l’arc de cercle de centre D et de rayon 5 cm, puis l’arc de centre E et de rayon 4 cm ; le point F est à l’intersection des deux arcs ; tracer [DF] et [EF].
Exercice 4
Un triangle RST est tel que l’angle R mesure 90° et l’angle S mesure 45°.
- Calcule la mesure de l’angle T.
- Quelle est la nature précise du triangle RST ? Justifie.
Correction
1) 180 − (90 + 45) = 45°. 2) Le triangle a un angle droit et deux angles égaux de 45°, donc deux côtés égaux : c’est un triangle rectangle isocèle en R.
Évaluation — Triangles
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Aires et périmètres
Le périmètre d’une figure
Le périmètre d’une figure est la longueur de son contour. Il se mesure en unités de longueur (cm, m, km…).
| Figure | Formule du périmètre | Exemple |
|---|---|---|
| Carré de côté c | P = 4c | c = 6 cm → P = 24 cm |
| Rectangle L × l | P = 2(L + l) | L = 8 cm, l = 3 cm → P = 22 cm |
| Cercle de rayon r | P = 2 × π × r | r = 3 cm → P = 6π ≈ 18,8 cm |
| Cercle de diamètre d | P = π × d | d = 10 cm → P ≈ 31,4 cm |
Le nombre π (pi) vaut environ 3,14 ; c’est le quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre.
Les formules d’aires
L’aire d’une figure est la mesure de sa surface. Elle se mesure en unités d’aire (cm², m²…).
| Figure | Formule de l’aire | Exemple |
|---|---|---|
| Carré de côté c | A = c × c = c² | c = 5 cm → A = 25 cm² |
| Rectangle L × l | A = L × l | L = 5 cm, l = 3 cm → A = 15 cm² |
| Triangle (base b, hauteur h) | A = (b × h) ÷ 2 | b = 8 cm, h = 5 cm → A = 20 cm² |
| Disque de rayon r | A = π × r × r = π × r² | r = 2 cm → A = 4π ≈ 12,6 cm² |
Pour le triangle, la hauteur doit être perpendiculaire à la base choisie. Ne pas confondre : périmètre du cercle = 2πr, aire du disque = πr².
Convertir des unités d’aire
Dans le tableau des unités d’aire, chaque colonne vaut 100 fois la suivante (et non 10, comme pour les longueurs) : 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm².
| km² | hm² | dam² | m² | dm² | cm² | mm² |
|---|---|---|---|---|---|---|
| On avance ou on recule de 2 rangs par unité | ||||||
- 2,5 m² = 250 dm² (× 100)
- 3 m² = 30 000 cm² (× 10 000)
- 45 000 cm² = 4,5 m² (÷ 10 000)
- 1 hm² = 1 hectare (ha) = 10 000 m², unité utilisée pour les terrains.
Figures composées
Pour calculer l’aire d’une figure complexe, on la découpe en figures simples, puis on additionne (ou on soustrait) les aires.
Figure en « L » : grand rectangle 10 × 6 = 60 m² rectangle retiré 4 × 3 = 12 m² Aire totale = 60 − 12 = 48 m²
Attention
Deux figures peuvent avoir la même aire et des périmètres différents.
Exemple
Un carré de côté 4 (A = 16, P = 16) et un rectangle 8 × 2 (A = 16, P = 20).
Mémo — Aires et périmètres
- Périmètre = longueur du contour (cm, m…) ; aire = mesure de la surface (cm², m²…).
- Carré : P = 4c ; A = c². Rectangle : P = 2(L + l) ; A = L × l.
- Triangle : A = (base × hauteur) ÷ 2, avec hauteur perpendiculaire à la base.
- Cercle de rayon r : P = 2πr ; disque : A = πr² (π ≈ 3,14).
- Cercle de diamètre d : P = πd.
- Conversions d’aires : 2 rangs par unité. 1 m² = 100 dm² = 10 000 cm² ; 1 ha = 1 hm² = 10 000 m².
- Figure composée : découper en figures simples, additionner ou soustraire les aires.
- Pièges : ne pas confondre 2πr (périmètre) et πr² (aire) ; même aire n’implique pas même périmètre ; oublier le ÷ 2 dans l’aire du triangle.
Exercices — Aires et périmètres
Exercice 1
Calcule le périmètre et l’aire :
- d’un rectangle de longueur 9 cm et de largeur 4 cm ;
- d’un carré de côté 7 cm.
Correction
1) P = 2 × (9 + 4) = 26 cm ; A = 9 × 4 = 36 cm². 2) P = 4 × 7 = 28 cm ; A = 7 × 7 = 49 cm².
Exercice 2
Un triangle a une base de 12 cm et une hauteur de 7 cm relative à cette base. Calcule son aire.
Correction
A = (12 × 7) ÷ 2 = 84 ÷ 2 = 42 cm². Sans le ÷ 2, on obtiendrait l’aire du rectangle de mêmes dimensions, soit le double.
Exercice 3
Un disque a un rayon de 5 cm. Prends π ≈ 3,14.
- Calcule le périmètre du cercle.
- Calcule l’aire du disque.
Correction
1) P = 2 × π × 5 = 10π ≈ 31,4 cm. 2) A = π × 5² = 25π ≈ 78,5 cm².
Exercice 4
Convertis :
- a) 3,2 m² en dm²
- b) 45 000 cm² en m²
- c) 2 ha en m²
Correction
a) 3,2 × 100 = 320 dm². b) 45 000 ÷ 10 000 = 4,5 m². c) 1 ha = 10 000 m², donc 2 ha = 20 000 m².
Évaluation — Aires et périmètres
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Prismes et cylindres
Décrire un prisme droit et un cylindre
Un prisme droit est un solide qui possède :
- deux bases : des polygones superposables et parallèles (triangles, rectangles, pentagones…) ;
- des faces latérales rectangulaires, perpendiculaires aux bases ;
- une hauteur : la distance entre les deux bases.
Un cylindre de révolution possède deux bases qui sont des disques superposables et parallèles, et une surface latérale courbe.
| Solide | Bases | Exemple : prisme à base triangulaire |
|---|---|---|
| Prisme droit | 2 polygones superposables | 5 faces, 9 arêtes, 6 sommets |
| Cylindre | 2 disques de même rayon | ni arête rectiligne, ni sommet |
En perspective cavalière, les arêtes cachées se dessinent en pointillés et les faces avant et arrière gardent leurs vraies formes.
Les patrons
Un patron est un dessin à plat qui permet de fabriquer le solide par pliage.
Patron d’un prisme droit
Les deux bases (polygones) et les faces latérales (rectangles) mises à plat. La hauteur du prisme donne l’une des dimensions de chaque rectangle.
Patron d’un cylindre
Deux disques et un rectangle. La largeur du rectangle est la hauteur du cylindre ; sa longueur est le périmètre de la base : 2 × π × r.
Dans le patron d’un cylindre de rayon 3 cm et de hauteur 8 cm, le rectangle mesure 8 cm sur 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm.
Calculer un volume
Le volume d’un prisme droit comme celui d’un cylindre suit la même formule :
V = aire de la base × hauteur
| Solide | Aire de la base | Volume |
|---|---|---|
| Pavé droit 5 × 3 × 2 cm | 5 × 3 = 15 cm² | 15 × 2 = 30 cm³ |
| Prisme, base de 12 cm², hauteur 5 cm | 12 cm² | 12 × 5 = 60 cm³ |
| Cylindre, r = 2 cm, h = 5 cm | π × 2² = 4π cm² | 4π × 5 = 20π ≈ 62,8 cm³ |
Pour un prisme à base triangulaire, on calcule d’abord l’aire du triangle : base 6 cm, hauteur 4 cm → aire (6 × 4) ÷ 2 = 12 cm², puis V = 12 × hauteur du prisme.
Unités de volume et de contenance
Dans le tableau des unités de volume, chaque colonne vaut 1 000 fois la suivante : 1 m³ = 1 000 dm³ = 1 000 000 cm³.
1 L = 1 dm³ et 1 mL = 1 cm³. C’est le lien entre contenances et volumes.
- 3 500 cm³ = 3,5 dm³ = 3,5 L.
- Un aquarium de 60 cm × 30 cm × 40 cm a un volume de 72 000 cm³ = 72 dm³ = 72 L.
- 0,25 m³ = 250 dm³ = 250 L.
Mémo — Prismes et cylindres
- Prisme droit : 2 bases polygonales superposables et parallèles + faces latérales rectangulaires.
- Cylindre : 2 bases circulaires (disques) + surface latérale courbe.
- Patron du cylindre : 2 disques + 1 rectangle de dimensions hauteur × (2πr).
- Volume (les deux solides) : V = aire de la base × hauteur.
- Cylindre : V = π × r² × h. Exemple : r = 2, h = 5 → 20π ≈ 62,8 cm³.
- Prisme à base triangulaire : aire de la base = (b × h du triangle) ÷ 2.
- Conversions : 3 rangs par unité de volume. 1 m³ = 1 000 dm³.
- 1 L = 1 dm³ ; 1 mL = 1 cm³. 3 500 cm³ = 3,5 L.
- Pièges : la hauteur du solide n’est pas la hauteur du triangle de base ; en perspective cavalière, les arêtes cachées sont en pointillés.
Exercices — Prismes et cylindres
Exercice 1
Un prisme droit a pour base un pentagone (polygone à 5 côtés).
- Combien a-t-il de faces en tout ?
- Combien a-t-il de sommets ?
- Combien a-t-il d’arêtes ?
Correction
1) 2 bases + 5 faces latérales = 7 faces. 2) 5 sommets par base : 10 sommets. 3) 5 arêtes par base (× 2) + 5 arêtes latérales = 15 arêtes.
Exercice 2
Un prisme droit a une base triangulaire d’aire 12 cm² et une hauteur de 7 cm. Calcule son volume.
Correction
V = aire de la base × hauteur = 12 × 7 = 84 cm³.
Exercice 3
Un cylindre a un rayon de 3 cm et une hauteur de 10 cm. Prends π ≈ 3,14.
- Calcule l’aire de sa base.
- Calcule son volume.
- Quelles sont les dimensions du rectangle de son patron ?
Correction
1) A = π × 3² = 9π ≈ 28,3 cm². 2) V = 9π × 10 = 90π ≈ 282,6 cm³. 3) Le rectangle mesure 10 cm (hauteur) sur 2 × π × 3 ≈ 18,8 cm (périmètre de la base).
Exercice 4
Un aquarium a la forme d’un pavé droit de dimensions 50 cm × 30 cm × 40 cm.
- Calcule son volume en cm³.
- Exprime ce volume en litres.
- On le remplit aux 3/4. Combien de litres d’eau contient-il ?
Correction
1) V = 50 × 30 × 40 = 60 000 cm³. 2) 60 000 cm³ = 60 dm³ = 60 L (1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³). 3) 3/4 de 60 = (60 ÷ 4) × 3 = 45 L.
Évaluation — Prismes et cylindres
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Question 1
Cours — Initiation à la pensée informatique
Qu’est-ce qu’un algorithme ?
Un algorithme est une suite d’instructions ordonnées qui permet de résoudre un problème ou d’accomplir une tâche. Une recette de cuisine ou un itinéraire sont des algorithmes de la vie courante.
- Les instructions s’exécutent dans l’ordre, l’une après l’autre : c’est une séquence.
- Changer l’ordre des instructions peut changer le résultat.
- Un programme est un algorithme écrit dans un langage compréhensible par une machine (Scratch, Python…).
Algorithme « rejoindre la porte » : 1. Avancer de 3 cases 2. Tourner à droite 3. Avancer de 2 cases
Un ordinateur exécute exactement ce qu’on lui demande : si l’algorithme est imprécis ou mal ordonné, le résultat est faux.
Les boucles (répétitions)
Quand des instructions se répètent, on utilise une boucle : elle rend le programme plus court et plus lisible.
Sans boucle
avancer de 100
tourner de 90°
avancer de 100
tourner de 90°
avancer de 100
tourner de 90°
avancer de 100
tourner de 90°
Avec boucle
répéter 4 fois :
avancer de 100
tourner de 90°
→ on obtient un carré.
- « Répéter 3 fois [avancer de 50] » fait avancer de 3 × 50 = 150 au total.
- Pour tracer un triangle équilatéral : répéter 3 fois [avancer de 100, tourner de 120°] (l’angle extérieur, pas 60°).
- Pour un polygone régulier à n côtés, on tourne de 360° ÷ n à chaque sommet.
Programmer avec Scratch
Scratch est un langage par blocs : on assemble des briques colorées pour créer des programmes.
| Bloc | Rôle | Exemple |
|---|---|---|
| « quand le drapeau vert est cliqué » | Événement qui démarre le programme | lancement du script |
| « avancer de 10 pas » | Déplacement du lutin | mouvement |
| « tourner de 90 degrés » | Rotation du lutin | changement de direction |
| « répéter 4 fois » | Boucle | tracer un carré |
| « mettre score à 0 », « ajouter 1 à score » | Gestion d’une variable | compter des points |
Une variable est une « boîte » de la mémoire qui porte un nom et stocke une valeur qui peut changer pendant l’exécution : un score, un compteur, une vitesse.
Utiliser un tableur
Un tableur (LibreOffice Calc, Excel…) organise des données dans des cellules repérées par une lettre de colonne et un numéro de ligne : A1, B3, C10…
Une formule commence toujours par le signe = et se recalcule automatiquement quand les données changent.
| Formule | Signification | Exemple (A1 = 12, B1 = 8) |
|---|---|---|
| =A1+B1 | Somme des cellules A1 et B1 | 20 |
| =A1*B1 | Produit de A1 par B1 | 96 |
| =A1-B1 | Différence | 4 |
| =MOYENNE(A1:A5) | Moyenne des cellules A1 à A5 | moyenne de la plage |
Le tableur est idéal pour les statistiques (effectifs, moyennes) et pour tester la proportionnalité : on recopie une formule vers le bas et tous les calculs se mettent à jour.
Mémo — Initiation à la pensée informatique
- Algorithme : suite d’instructions ordonnées pour accomplir une tâche ; l’ordre compte.
- Programme : algorithme écrit dans un langage exécutable par une machine (Scratch, Python…).
- Séquence : instructions exécutées l’une après l’autre.
- Boucle : « répéter n fois » ; répéter 3 fois [avancer 50] → 150 au total.
- Carré en Scratch : répéter 4 fois [avancer 100, tourner 90°].
- Triangle équilatéral : répéter 3 fois [avancer 100, tourner 120°] (angle extérieur).
- Variable : espace mémoire nommé qui stocke une valeur modifiable (score, compteur).
- Tableur : cellule = colonne + ligne (B3) ; toute formule commence par « = » : =A1+B1.
- Pièges : tourner de 60° au lieu de 120° pour le triangle ; oublier le « = » devant une formule de tableur.
Exercices — Initiation à la pensée informatique
Exercice 1
Voici un programme : « répéter 5 fois [avancer de 40 pas] ».
- De combien de pas le lutin avance-t-il au total ?
- Écris un programme équivalent sans boucle.
Correction
1) 5 × 40 = 200 pas. 2) Sans boucle, il faut écrire cinq fois de suite l’instruction « avancer de 40 pas ». La boucle rend le programme beaucoup plus court.
Exercice 2
On veut tracer un carré de côté 80 avec Scratch.
- Écris le programme en utilisant une boucle.
- Modifie-le pour tracer un triangle équilatéral de côté 80.
Correction
1) « répéter 4 fois [avancer de 80, tourner de 90°] ». 2) « répéter 3 fois [avancer de 80, tourner de 120°] ». On tourne de l’angle extérieur : 360° ÷ 3 = 120°, et non 60°.
Exercice 3
Dans une feuille de tableur, A1 contient 15, B1 contient 5.
- Que renvoie la formule =A1+B1 ?
- Que renvoie la formule =A1*B1 ?
- Quelle formule écrire en C1 pour calculer la moitié de A1 ?
Correction
1) 15 + 5 = 20. 2) 15 × 5 = 75. 3) =A1/2 renvoie 7,5. Toute formule commence par le signe « = ».
Exercice 4
Un programme utilise une variable « score » : « mettre score à 0 ; répéter 4 fois [ajouter 3 à score] ».
- Quelle est la valeur de score à la fin du programme ?
- Que vaudrait score si on répétait 7 fois au lieu de 4 ?
Correction
1) On part de 0 et on ajoute 4 fois 3 : score = 4 × 3 = 12. 2) 7 × 3 = 21. La variable garde sa valeur en mémoire et augmente à chaque tour de boucle.
Évaluation — Initiation à la pensée informatique
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1