Cours
Nombres et calculs
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Cours — Nombres et calculs
Diviseurs et nombres premiers
Un entier b est un diviseur de l’entier a lorsque la division de a par b tombe juste (reste nul). On dit aussi que a est un multiple de b.
- Les diviseurs de 12 sont : 1, 2, 3, 4, 6 et 12.
- Un nombre premier possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
- Les nombres premiers inférieurs à 30 : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29.
- Attention : 1 n’est pas premier (un seul diviseur) et 2 est le seul nombre premier pair.
Un nombre premier a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.
Décomposition en produit de facteurs premiers
Tout entier supérieur à 1 se décompose de façon unique en produit de facteurs premiers. On divise successivement par les nombres premiers 2, 3, 5, 7…
84 | 2 42 | 2 21 | 3 7 | 7 1 | 84 = 2 × 2 × 3 × 7 = 2² × 3 × 7
Exemples utiles : 60 = 2² × 3 × 5, 90 = 2 × 3² × 5, 126 = 2 × 3² × 7.
La décomposition sert à simplifier des fractions et à résoudre des problèmes de partage ou d’engrenages.
Fractions irréductibles
Une fraction est irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur n’ont aucun diviseur commun autre que 1.
Pour rendre une fraction irréductible, on décompose numérateur et dénominateur en facteurs premiers, puis on simplifie les facteurs communs.
84 2² × 3 × 7 2 × 2 2 --- = ------------- = ---------- = --- 126 2 × 3² × 7 3 × 1 3
Le plus grand diviseur commun de 84 et 126 est 2 × 3 × 7 = 42 : on dit que PGCD(84 ; 126) = 42, et 84 ÷ 42 = 2, 126 ÷ 42 = 3.
| Fraction | Simplification | Forme irréductible |
|---|---|---|
| 18/24 | ÷ 6 en haut et en bas | 3/4 |
| 45/60 | ÷ 15 en haut et en bas | 3/4 |
| 84/126 | ÷ 42 en haut et en bas | 2/3 |
Puissances
Pour un entier n positif, aⁿ = a × a × … × a (n facteurs). Par convention a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
| Règle | Formule | Exemple |
|---|---|---|
| Produit | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 10³ × 10⁴ = 10⁷ |
| Quotient | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 10⁵ ÷ 10² = 10³ |
| Puissance de puissance | (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ | (10²)³ = 10⁶ |
Exposant positif
10⁴ = 10 000 : un 1 suivi de 4 zéros.
2⁵ = 32.
Exposant négatif
10⁻³ = 0,001 : trois rangs après la virgule.
2⁻² = 1/4 = 0,25.
Notation scientifique
Un nombre est en notation scientifique lorsqu’il s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n entier relatif.
| Nombre | Notation scientifique |
|---|---|
| 149 600 000 km (Terre–Soleil) | 1,496 × 10⁸ km |
| 0,000 25 | 2,5 × 10⁻⁴ |
| 63 000 | 6,3 × 10⁴ |
Pour multiplier : (2 × 10³) × (3 × 10⁵) = 6 × 10⁸. On multiplie les nombres, on additionne les exposants.
En notation scientifique, le nombre a vérifie toujours 1 ≤ a < 10 : 25 × 10³ n’est pas une notation scientifique, mais 2,5 × 10⁴ oui.
Calculer avec les fractions et les relatifs
- Addition / soustraction : mettre au même dénominateur. 2/3 + 1/6 = 4/6 + 1/6 = 5/6.
- Multiplication : numérateurs entre eux, dénominateurs entre eux. 3/4 × 2/5 = 6/20 = 3/10.
- Division : multiplier par l’inverse. 3/4 ÷ 2/5 = 3/4 × 5/2 = 15/8.
- Relatifs : (−3) × (−5) = 15, (−3) × 5 = −15 : le produit de deux nombres de même signe est positif.
Mémo — Nombres et calculs
- Nombre premier : exactement 2 diviseurs (1 et lui-même). Liste : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29…
- Décomposition : diviser par 2, 3, 5, 7… jusqu’à obtenir 1. Ex. : 84 = 2² × 3 × 7.
- Fraction irréductible : simplifier par tous les facteurs communs (ou par le PGCD). Ex. : 84/126 = 2/3.
- Puissances : aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ ; a⁰ = 1 ; a⁻ⁿ = 1/aⁿ.
- Notation scientifique : a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10. Ex. : 0,000 25 = 2,5 × 10⁻⁴.
- Fractions : même dénominateur pour + et − ; pour ÷, multiplier par l’inverse.
- Piège classique : 1 n’est pas premier ; 25 × 10³ n’est pas une notation scientifique.
Exercices — Nombres et calculs
Exercice 1
Décompose en produit de facteurs premiers :
- 60
- 126
- 200
Correction
60 = 2 × 30 = 2 × 2 × 15 = 2² × 3 × 5. 126 = 2 × 63 = 2 × 3 × 21 = 2 × 3² × 7. 200 = 2 × 100 = 2 × 2 × 2 × 25 = 2³ × 5².
Exercice 2
Rends irréductible la fraction 140/196 en utilisant les décompositions en facteurs premiers.
Correction
140 = 2² × 5 × 7 et 196 = 2² × 7². Les facteurs communs sont 2² × 7 = 28. Donc 140/196 = (140 ÷ 28)/(196 ÷ 28) = 5/7. La fraction irréductible est 5/7.
Exercice 3 — Type brevet
Un pâtissier dispose de 84 framboises et 126 fraises. Il veut réaliser des tartelettes identiques en utilisant tous les fruits.
- Peut-il faire 42 tartelettes ? Justifier.
- Quel est le nombre maximal de tartelettes possibles ? Quelle sera alors la composition de chacune ?
Correction
1) 84 ÷ 42 = 2 et 126 ÷ 42 = 3 : les deux divisions tombent juste, donc oui, 42 tartelettes avec 2 framboises et 3 fraises chacune. 2) 84 = 2² × 3 × 7 et 126 = 2 × 3² × 7 : le plus grand diviseur commun est 2 × 3 × 7 = 42. Le maximum est donc 42 tartelettes, chacune avec 2 framboises et 3 fraises.
Exercice 4
Donne l’écriture scientifique puis calcule :
- A = 0,000 72
- B = 45 000 000
- C = (3 × 10⁴) × (2 × 10⁻⁷)
Correction
A = 7,2 × 10⁻⁴. B = 4,5 × 10⁷. C = 3 × 2 × 10⁴⁺⁽⁻⁷⁾ = 6 × 10⁻³ = 0,006.
Évaluation — Nombres et calculs
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Calcul littéral
Développer avec la distributivité
Développer, c’est transformer un produit en somme. La distributivité simple s’écrit :
k(a + b) = ka + kb et k(a − b) = ka − kb
- 3(x + 5) = 3x + 15
- −2(4x − 7) = −8x + 14 (attention aux signes !)
- x(2x + 3) = 2x² + 3x
Double distributivité
Pour développer un produit de deux sommes, chaque terme du premier facteur multiplie chaque terme du second :
(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd
(x + 3)(2x − 5) = x × 2x + x × (−5) + 3 × 2x + 3 × (−5) = 2x² − 5x + 6x − 15 = 2x² + x − 15
On termine toujours en réduisant : on regroupe les termes en x² ensemble, les termes en x ensemble, puis les constantes.
Les identités remarquables
Trois égalités à connaître par cœur, valables pour tous nombres a et b :
| Identité | Développement | Exemple |
|---|---|---|
| (a + b)² | a² + 2ab + b² | (x + 3)² = x² + 6x + 9 |
| (a − b)² | a² − 2ab + b² | (x − 5)² = x² − 10x + 25 |
| (a + b)(a − b) | a² − b² | (x + 4)(x − 4) = x² − 16 |
Erreur classique
(a + b)² n’est pas égal à a² + b². Il ne faut pas oublier le double produit 2ab.
Calcul mental
101² = (100 + 1)² = 10 000 + 200 + 1 = 10 201.
99 × 101 = (100 − 1)(100 + 1) = 10 000 − 1 = 9 999.
Factoriser
Factoriser, c’est transformer une somme en produit : c’est l’opération inverse du développement.
- Facteur commun : 6x + 15 = 3(2x + 5) ; x² + 7x = x(x + 7).
- Avec a² − b² : x² − 49 = (x + 7)(x − 7) ; 9x² − 25 = (3x + 5)(3x − 5).
- Facteur commun composé : (x + 2)(x − 1) + (x + 2)(3x + 4) = (x + 2)(4x + 3).
4x² − 9 = (2x)² − 3²
= (2x + 3)(2x − 3)
Pour factoriser une différence de deux carrés : a² − b² = (a + b)(a − b).
Démontrer avec le calcul littéral
Le calcul littéral permet de prouver qu’une propriété est vraie pour tous les nombres.
Exemple : montrer que la somme de deux entiers impairs est paire.
Soit n et p deux entiers.
Deux nombres impairs s'écrivent 2n + 1 et 2p + 1.
(2n + 1) + (2p + 1) = 2n + 2p + 2
= 2(n + p + 1)
C'est un multiple de 2 : la somme est paire.
Programme de calcul : « choisir un nombre, ajouter 3, multiplier le résultat par le nombre de départ, ajouter 9 ». Avec x, on obtient x(x + 3) + 9 = x² + 3x + 9. Le calcul littéral permet de comparer deux programmes pour tous les nombres, pas seulement quelques exemples.
Mémo — Calcul littéral
- Distributivité : k(a + b) = ka + kb.
- Double distributivité : (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd, puis on réduit.
- Identités remarquables (au brevet !) : (a + b)² = a² + 2ab + b² ; (a − b)² = a² − 2ab + b² ; (a + b)(a − b) = a² − b².
- Factoriser = transformer une somme en produit : chercher un facteur commun, ou reconnaître a² − b².
- Réduire : regrouper les x², les x, les constantes. Ex. : 2x² − 5x + 6x − 15 = 2x² + x − 15.
- Pièges : (a + b)² ≠ a² + b² ; attention au signe − devant une parenthèse : −(2x − 3) = −2x + 3.
- Démonstration : nombre pair = 2n, nombre impair = 2n + 1, deux entiers consécutifs = n et n + 1.
Exercices — Calcul littéral
Exercice 1
Développe et réduis :
- A = 5(2x − 3)
- B = (x + 4)(x + 2)
- C = (3x − 1)(2x + 5)
Correction
A = 10x − 15. B = x² + 2x + 4x + 8 = x² + 6x + 8. C = 6x² + 15x − 2x − 5 = 6x² + 13x − 5.
Exercice 2
Développe à l’aide des identités remarquables :
- D = (x + 6)²
- E = (2x − 3)²
- F = (5x + 1)(5x − 1)
Correction
D = x² + 12x + 36. E = (2x)² − 2 × 2x × 3 + 3² = 4x² − 12x + 9. F = (5x)² − 1² = 25x² − 1.
Exercice 3
Factorise :
- G = 12x + 18
- H = x² − 81
- I = 16x² − 25
Correction
G = 6(2x + 3). H = x² − 9² = (x + 9)(x − 9). I = (4x)² − 5² = (4x + 5)(4x − 5).
Exercice 4 — Type brevet
On considère le programme de calcul : « Choisir un nombre ; lui ajouter 5 ; multiplier le résultat par le nombre choisi diminué de 5 ; ajouter 25 au résultat. »
- Vérifier qu’en choisissant 3, on obtient 9.
- En notant x le nombre choisi, exprimer le résultat en fonction de x.
- Montrer que le résultat est toujours le carré du nombre choisi.
Correction
1) 3 + 5 = 8 ; 3 − 5 = −2 ; 8 × (−2) = −16 ; −16 + 25 = 9. On obtient bien 9, qui est 3². 2) R = (x + 5)(x − 5) + 25. 3) D’après l’identité remarquable (a + b)(a − b) = a² − b², on a R = x² − 25 + 25 = x². Le résultat est donc toujours le carré du nombre choisi.
Évaluation — Calcul littéral
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Équations et inéquations
Résoudre une équation du premier degré
Une équation est une égalité contenant une inconnue (souvent x). Résoudre, c’est trouver toutes les valeurs de x qui rendent l’égalité vraie.
Règles de transformation : on peut ajouter ou soustraire un même nombre aux deux membres, et multiplier ou diviser les deux membres par un même nombre non nul.
5x − 7 = 3x + 9 5x − 3x = 9 + 7 (on regroupe) 2x = 16 x = 16 ÷ 2 x = 8
Vérification : 5 × 8 − 7 = 33 et 3 × 8 + 9 = 33. L’égalité est vraie : la solution est x = 8.
On regroupe les termes en x d’un côté, les nombres de l’autre, puis on divise par le coefficient de x. On vérifie toujours la solution.
Équation produit nul
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses facteurs est nul.
(x − 3)(2x + 8) = 0
x − 3 = 0 ou 2x + 8 = 0
x = 3 ou 2x = −8
x = −4
Les solutions sont 3 et −4.
C’est pour utiliser cette règle qu’on factorise : l’équation x² − 16 = 0 devient (x + 4)(x − 4) = 0, dont les solutions sont −4 et 4.
L’équation x² = a
| Cas | Solutions | Exemple |
|---|---|---|
| a > 0 | deux solutions : √a et −√a | x² = 25 : x = 5 ou x = −5 |
| a = 0 | une seule solution : 0 | x² = 0 : x = 0 |
| a < 0 | aucune solution | x² = −9 : impossible |
Exemple avec racine non entière : x² = 13 a pour solutions √13 ≈ 3,61 et −√13 ≈ −3,61.
Résoudre une inéquation
Une inéquation utilise les symboles <, >, ≤ ou ≥. On la résout comme une équation, avec une règle supplémentaire :
Quand on multiplie ou divise par un nombre négatif, on change le sens de l’inégalité.
−3x + 5 ≤ 20 −3x ≤ 15 x ≥ 15 ÷ (−3) (division par −3 : le sens change) x ≥ −5
Les solutions sont tous les nombres supérieurs ou égaux à −5. Sur une droite graduée, on met un crochet en −5 (valeur incluse car ≤) et on colorie vers la droite.
Mettre un problème en équation
- Choisir l’inconnue : « soit x le nombre de … ».
- Traduire l’énoncé par une équation.
- Résoudre l’équation.
- Conclure par une phrase, en vérifiant que la solution a du sens.
Exemple : un rectangle a un périmètre de 46 cm et sa longueur dépasse sa largeur de 5 cm. Soit x la largeur : 2(x + x + 5) = 46, donc 4x + 10 = 46, donc 4x = 36 et x = 9. La largeur mesure 9 cm et la longueur 14 cm.
Mémo — Équations et inéquations
- Équation du 1ᵉʳ degré : regrouper les x à gauche, les nombres à droite, diviser par le coefficient. Vérifier !
- Produit nul : A × B = 0 ⟺ A = 0 ou B = 0. On factorise d’abord si besoin.
- x² = a : si a > 0, deux solutions √a et −√a ; si a = 0, une solution ; si a < 0, aucune.
- Inéquation : mêmes règles que l’équation, mais ×/÷ par un négatif renverse le sens.
- Représentation des solutions : crochet fermé pour ≤ ou ≥ (valeur incluse), crochet ouvert pour < ou >.
- Problème : choisir l’inconnue, mettre en équation, résoudre, conclure par une phrase.
- Piège : −3x ≤ 15 donne x ≥ −5 (et non x ≤ −5).
Exercices — Équations et inéquations
Exercice 1
Résous les équations suivantes :
- 4x + 7 = 31
- 7x − 2 = 5x + 10
- 3(x − 2) = 2x + 1
Correction
1) 4x = 24 donc x = 6. 2) 7x − 5x = 10 + 2 donc 2x = 12 et x = 6. 3) 3x − 6 = 2x + 1 donc 3x − 2x = 1 + 6 et x = 7.
Exercice 2
Résous :
- (x + 2)(3x − 9) = 0
- x² = 64
- x² + 5 = 0
Correction
1) x + 2 = 0 ou 3x − 9 = 0, donc x = −2 ou x = 3. 2) x = 8 ou x = −8. 3) x² = −5 : un carré est toujours positif ou nul, donc aucune solution.
Exercice 3
Résous l’inéquation −2x + 3 > 11 et représente les solutions sur une droite graduée.
Correction
−2x > 8, donc x < −4 (division par −2 : le sens change). Les solutions sont tous les nombres strictement inférieurs à −4 : sur la droite graduée, crochet ouvert en −4 et coloriage vers la gauche.
Exercice 4 — Type brevet
Un abonnement de cinéma coûte 25 € par an et chaque séance coûte alors 6 €. Sans abonnement, la séance coûte 11 €.
- Exprimer le coût annuel avec abonnement pour x séances, puis sans abonnement.
- À partir de combien de séances l’abonnement devient-il avantageux ?
Correction
1) Avec : 25 + 6x. Sans : 11x. 2) On résout 25 + 6x < 11x : 25 < 5x, donc x > 5. L’abonnement est avantageux à partir de 6 séances par an.
Évaluation — Équations et inéquations
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Fonctions
La notion de fonction
Une fonction est un procédé qui, à un nombre, associe un unique nombre. Si la fonction s’appelle f et le nombre de départ x, le résultat se note f(x) (lire « f de x »).
Exemple : f est la fonction qui à x associe 3x + 1. On écrit f(x) = 3x + 1 ou f : x ⟼ 3x + 1.
- f(2) = 3 × 2 + 1 = 7 : l’image de 2 par f est 7.
- Si f(x) = 7, alors x = 2 : on dit que 2 est un antécédent de 7 par f.
Un nombre a une seule image, mais un nombre peut avoir plusieurs antécédents (ou aucun). Ex. : avec g(x) = x², le nombre 9 a deux antécédents : 3 et −3.
Tableau de valeurs et courbe
Une fonction peut se décrire par une formule, un tableau de valeurs ou une courbe.
| x | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|---|
| f(x) = 3x + 1 | −5 | −2 | 1 | 4 | 7 |
Sur un graphique, le point de coordonnées (x ; f(x)) appartient à la courbe de f. Lire une image : partir de x sur l’axe horizontal, monter jusqu’à la courbe, lire la valeur sur l’axe vertical. Lire un antécédent : faire le chemin inverse.
Fonctions linéaires : f(x) = ax
Une fonction linéaire est de la forme f(x) = ax, où a est le coefficient. Elle traduit une situation de proportionnalité.
- Sa représentation graphique est une droite passant par l’origine du repère.
- Exemple : f(x) = 2,5x modélise un prix de 2,50 € le kilogramme.
- f(4) = 10 : 4 kg coûtent 10 €.
Fonctions affines : f(x) = ax + b
Une fonction affine est de la forme f(x) = ax + b. Sa représentation graphique est une droite.
| Élément | Nom | Lecture graphique |
|---|---|---|
| a | coefficient directeur | pente : quand x augmente de 1, f(x) varie de a |
| b | ordonnée à l’origine | la droite coupe l’axe vertical au point (0 ; b) |
a > 0
La droite monte : la fonction est croissante. Ex. : f(x) = 2x + 1.
a < 0
La droite descend : la fonction est décroissante. Ex. : g(x) = −0,5x + 3.
Retrouver a à partir de deux points : a = (différence des f(x)) ÷ (différence des x). Si f(1) = 5 et f(3) = 11, alors a = (11 − 5) ÷ (3 − 1) = 3, puis b = f(1) − a × 1 = 2, donc f(x) = 3x + 2.
Linéaire : droite par l’origine (b = 0). Affine : droite quelconque. Toute fonction linéaire est une fonction affine particulière.
Modéliser avec une fonction
Un plombier facture 40 € de déplacement plus 35 € par heure de travail. Le prix pour x heures est p(x) = 35x + 40.
- p(2) = 110 : deux heures de travail coûtent 110 €.
- Résoudre p(x) = 180 : 35x = 140, donc x = 4. Pour 180 €, le plombier travaille 4 heures.
Mémo — Fonctions
- f(x) = image de x par f. « x est un antécédent de f(x) ».
- Une image unique par nombre ; parfois plusieurs antécédents (x² = 9 : antécédents 3 et −3).
- Linéaire : f(x) = ax — droite passant par l’origine — modèle de la proportionnalité.
- Affine : f(x) = ax + b — droite ; a = coefficient directeur (pente), b = ordonnée à l’origine.
- a à partir de deux points : a = (y₂ − y₁) ÷ (x₂ − x₁).
- a > 0 : droite qui monte ; a < 0 : droite qui descend.
- Piège : « image de 2 » = calculer f(2) ; « antécédent de 2 » = résoudre f(x) = 2.
Exercices — Fonctions
Exercice 1
Soit f(x) = 4x − 3.
- Calcule f(0), f(2) et f(−1).
- Quel est l’antécédent de 13 par f ?
Correction
1) f(0) = −3 ; f(2) = 8 − 3 = 5 ; f(−1) = −4 − 3 = −7. 2) On résout 4x − 3 = 13 : 4x = 16, donc x = 4. L’antécédent de 13 est 4.
Exercice 2
Parmi les fonctions suivantes, indique celles qui sont linéaires, affines, ou ni l’une ni l’autre : f(x) = 5x ; g(x) = 3x − 7 ; h(x) = x² ; k(x) = −x.
Correction
f est linéaire (donc aussi affine), a = 5. g est affine non linéaire (a = 3, b = −7). h n’est ni linéaire ni affine (x au carré). k est linéaire, a = −1.
Exercice 3
Une droite représente une fonction affine f. Elle passe par les points A(0 ; 2) et B(3 ; 11). Détermine f(x).
Correction
a = (11 − 2) ÷ (3 − 0) = 9 ÷ 3 = 3. La droite coupe l’axe des ordonnées en (0 ; 2), donc b = 2. Ainsi f(x) = 3x + 2.
Exercice 4 — Type brevet
Deux salles de sport proposent : Tarif A : 8 € la séance ; Tarif B : abonnement de 60 € puis 3 € la séance.
- Exprimer les deux tarifs en fonction du nombre x de séances.
- Le tarif A est-il linéaire ? affine ? Et le tarif B ?
- Pour combien de séances les deux tarifs sont-ils égaux ?
Correction
1) A(x) = 8x et B(x) = 3x + 60. 2) A est linéaire (proportionnalité) ; B est affine non linéaire. 3) 8x = 3x + 60, donc 5x = 60 et x = 12. Les deux tarifs sont égaux pour 12 séances (96 €).
Évaluation — Fonctions
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Proportionnalité et pourcentages
Proportionnalité et fonction linéaire
Deux grandeurs sont proportionnelles lorsqu’on passe de l’une à l’autre en multipliant toujours par le même nombre, le coefficient de proportionnalité.
| Masse (kg) | 2 | 5 | 8 |
|---|---|---|---|
| Prix (€) | 5 | 12,50 | 20 |
Le coefficient est 2,5 : le prix est donné par la fonction linéaire p(x) = 2,5x. Graphiquement, une situation de proportionnalité correspond à une droite passant par l’origine.
Proportionnalité ⟺ fonction linéaire f(x) = ax ⟺ droite passant par l’origine.
Calculer un pourcentage
- Prendre p % d’une quantité : multiplier par p/100. Ex. : 30 % de 250 € = 0,30 × 250 = 75 €.
- Exprimer une proportion en % : (partie ÷ total) × 100. Ex. : 18 filles sur 30 élèves : 18 ÷ 30 = 0,6 = 60 %.
Pourcentages d’évolution
Augmenter de p % = multiplier par 1 + p/100. Diminuer de p % = multiplier par 1 − p/100.
| Évolution | Coefficient multiplicateur | Exemple sur 200 € |
|---|---|---|
| + 20 % | × 1,20 | 200 × 1,20 = 240 € |
| + 5 % | × 1,05 | 200 × 1,05 = 210 € |
| − 30 % | × 0,70 | 200 × 0,70 = 140 € |
| − 8 % | × 0,92 | 200 × 0,92 = 184 € |
Attention : deux évolutions successives ne s’additionnent pas ! Une hausse de 20 % suivie d’une baisse de 20 % donne × 1,20 × 0,80 = × 0,96, soit une baisse de 4 %.
Échelles
L’échelle d’un plan est le coefficient de proportionnalité entre les distances sur le plan et les distances réelles, exprimées dans la même unité :
échelle = distance sur le plan ÷ distance réelle
- Échelle 1/25 000 : 1 cm sur la carte représente 25 000 cm = 250 m dans la réalité.
- Sur cette carte, 4 cm représentent 4 × 250 = 1 000 m = 1 km.
- Une échelle supérieure à 1 (ex. 5/1) correspond à un agrandissement (dessin de microscope).
Grandeurs quotients : la vitesse
La vitesse moyenne est le quotient de la distance par la durée : v = d ÷ t.
- 150 km en 2 h : v = 75 km/h.
- Pour convertir : 90 km/h = 90 000 m ÷ 3 600 s = 25 m/s.
- d = v × t et t = d ÷ v : à 80 km/h, 200 km durent t = 200 ÷ 80 = 2,5 h = 2 h 30 min.
Mémo — Proportionnalité et pourcentages
- Proportionnalité = fonction linéaire f(x) = ax = droite par l’origine.
- Prendre p % : × p/100. 30 % de 250 = 75.
- Augmenter de p % : × (1 + p/100). + 20 % ⟹ × 1,20.
- Diminuer de p % : × (1 − p/100). − 30 % ⟹ × 0,70.
- Évolutions successives : on multiplie les coefficients (jamais on n’additionne les %). +20 % puis −20 % = × 0,96.
- Échelle = plan ÷ réel (même unité). 1/25 000 : 1 cm ↔ 250 m.
- Vitesse : v = d ÷ t ; d = v × t ; t = d ÷ v. 2,5 h = 2 h 30 min.
Exercices — Proportionnalité et pourcentages
Exercice 1
Un article coûte 80 €.
- Quel est son prix après une hausse de 15 % ?
- Quel est son prix après une baisse de 25 % ?
Correction
1) 80 × 1,15 = 92 €. 2) 80 × 0,75 = 60 €.
Exercice 2
Le prix d’un jeu vidéo passe de 60 € à 45 €. Quel est le pourcentage de baisse ?
Correction
45 ÷ 60 = 0,75 : le prix a été multiplié par 0,75 = 1 − 0,25. C’est une baisse de 25 %.
Exercice 3
Sur une carte à l’échelle 1/50 000, deux villages sont distants de 6 cm. Quelle est la distance réelle en kilomètres ?
Correction
6 × 50 000 = 300 000 cm = 3 000 m = 3 km.
Exercice 4 — Type brevet
Le nombre d’abonnés d’une chaîne passe de 2 500 à 3 000 en janvier, puis baisse de 10 % en février.
- Quel est le pourcentage d’augmentation en janvier ?
- Combien d’abonnés reste-t-il fin février ?
- La chaîne a-t-elle globalement gagné des abonnés depuis le début ? Justifier par un coefficient multiplicateur global.
Correction
1) 3 000 ÷ 2 500 = 1,20 : hausse de 20 %. 2) 3 000 × 0,90 = 2 700 abonnés. 3) Coefficient global : 1,20 × 0,90 = 1,08, soit + 8 % : oui, la chaîne a gagné des abonnés (2 700 > 2 500).
Évaluation — Proportionnalité et pourcentages
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Statistiques
La moyenne
La moyenne d’une série se calcule en additionnant toutes les valeurs puis en divisant par l’effectif total.
Notes : 8 ; 12 ; 15 ; 9 ; 16
moyenne = (8 + 12 + 15 + 9 + 16) ÷ 5
= 60 ÷ 5
= 12
Moyenne pondérée : quand les valeurs ont des effectifs, on multiplie chaque valeur par son effectif.
| Note | 10 | 12 | 15 |
|---|---|---|---|
| Effectif | 3 | 5 | 2 |
moyenne = (10 × 3 + 12 × 5 + 15 × 2) ÷ (3 + 5 + 2) = 120 ÷ 10 = 12.
La médiane
La médiane d’une série ordonnée est une valeur qui partage la série en deux moitiés de même effectif : au moins la moitié des valeurs lui sont inférieures ou égales, au moins la moitié supérieures ou égales.
Effectif impair
Série : 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 20 (5 valeurs).
La médiane est la 3ᵉ valeur : 11.
Effectif pair
Série : 5 ; 8 ; 11 ; 13 ; 14 ; 20 (6 valeurs).
La médiane est entre la 3ᵉ et la 4ᵉ : (11 + 13) ÷ 2 = 12.
Avant de chercher la médiane, il faut toujours ranger la série dans l’ordre croissant.
Étendue et quartiles
- Étendue = plus grande valeur − plus petite valeur. Elle mesure la dispersion. Pour 5 ; 8 ; 11 ; 14 ; 20 : étendue = 20 − 5 = 15.
- Premier quartile Q1 : la plus petite valeur telle qu’au moins 25 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
- Troisième quartile Q3 : la plus petite valeur telle qu’au moins 75 % des valeurs lui sont inférieures ou égales.
Exemple : série de 8 valeurs ordonnées 2 ; 4 ; 5 ; 7 ; 9 ; 10 ; 12 ; 15. Un quart de 8 = 2, donc Q1 est la 2ᵉ valeur : 4. Trois quarts de 8 = 6, donc Q3 est la 6ᵉ valeur : 10.
Interpréter les indicateurs
Deux classes ont la même moyenne de 12 mais des profils différents :
| Classe | Moyenne | Médiane | Étendue |
|---|---|---|---|
| 3ᵉ A | 12 | 12 | 4 |
| 3ᵉ B | 12 | 10 | 16 |
- La 3ᵉ A est homogène : notes resserrées autour de 12.
- La 3ᵉ B est hétérogène : notes très dispersées, et la médiane à 10 montre que la moitié des élèves a moins de 10 — la moyenne est « tirée vers le haut » par quelques très bonnes notes.
- La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes, la médiane ne l’est pas.
Mémo — Statistiques
- Moyenne = somme des valeurs ÷ effectif total. Pondérée : Σ(valeur × effectif) ÷ Σ(effectifs).
- Médiane : ranger la série, puis prendre la valeur du milieu (ou la demi-somme des deux valeurs centrales si l’effectif est pair).
- Étendue = max − min : mesure la dispersion.
- Q1 : au moins 25 % des valeurs ≤ Q1. Q3 : au moins 75 % des valeurs ≤ Q3.
- La moyenne est sensible aux valeurs extrêmes ; la médiane non.
- Piège : oublier d’ordonner la série avant de lire la médiane.
- « La moitié des élèves a moins de la médiane » : phrase clé d’interprétation.
Exercices — Statistiques
Exercice 1
Voici les notes de Léa : 9 ; 14 ; 11 ; 16 ; 10.
- Calcule la moyenne.
- Détermine la médiane.
- Calcule l’étendue.
Correction
1) (9 + 14 + 11 + 16 + 10) ÷ 5 = 60 ÷ 5 = 12. 2) Série ordonnée : 9 ; 10 ; 11 ; 14 ; 16 : la médiane est 11. 3) Étendue = 16 − 9 = 7.
Exercice 2
Un contrôle a donné les résultats suivants :
- Note 8 : 4 élèves ; note 12 : 10 élèves ; note 16 : 6 élèves.
Calcule la moyenne de la classe.
Correction
(8 × 4 + 12 × 10 + 16 × 6) ÷ (4 + 10 + 6) = (32 + 120 + 96) ÷ 20 = 248 ÷ 20 = 12,4.
Exercice 3
Série ordonnée des temps (en min) de 8 coureurs : 42 ; 45 ; 47 ; 50 ; 52 ; 55 ; 58 ; 70. Détermine la médiane, Q1 et Q3.
Correction
Effectif pair (8) : médiane = (50 + 52) ÷ 2 = 51 min. Q1 : 8 ÷ 4 = 2, donc Q1 = 2ᵉ valeur = 45 min. Q3 : 3 × 8 ÷ 4 = 6, donc Q3 = 6ᵉ valeur = 55 min.
Exercice 4 — Type brevet
Le salaire mensuel des 5 employés d’une petite entreprise : 1 500 € ; 1 600 € ; 1 700 € ; 1 800 € ; 4 400 €.
- Calcule le salaire moyen et le salaire médian.
- Quel indicateur représente le mieux la situation des employés ? Pourquoi ?
Correction
1) Moyenne = (1 500 + 1 600 + 1 700 + 1 800 + 4 400) ÷ 5 = 11 000 ÷ 5 = 2 200 €. Médiane = 1 700 € (3ᵉ valeur). 2) La médiane : 4 employés sur 5 gagnent moins que la moyenne, qui est tirée vers le haut par le salaire de 4 400 €. La médiane n’est pas influencée par cette valeur extrême.
Évaluation — Statistiques
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Question 1
Cours — Probabilités
Vocabulaire et calcul d’une probabilité
Une expérience aléatoire est une expérience dont on ne peut pas prévoir le résultat (lancer un dé, tirer une boule…). Chaque résultat possible est une issue ; un événement est un ensemble d’issues.
Quand toutes les issues ont la même chance de se produire (équiprobabilité) :
p(événement) = nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles
- Dé équilibré à 6 faces : p(obtenir un 3) = 1/6 ; p(nombre pair) = 3/6 = 1/2.
- Une probabilité est toujours comprise entre 0 et 1.
- p = 0 : événement impossible ; p = 1 : événement certain.
Événement contraire
L’événement contraire de A, noté « non A », se réalise exactement quand A ne se réalise pas.
p(non A) = 1 − p(A)
Exemple : dans une urne, p(tirer une boule rouge) = 0,3, donc p(ne pas tirer une rouge) = 1 − 0,3 = 0,7.
Expérience à deux épreuves : l’arbre
Pour une expérience en deux étapes, on construit un arbre de probabilités. La probabilité d’un chemin est le produit des probabilités rencontrées le long du chemin.
Exemple : on lance deux fois une pièce équilibrée (P = pile, F = face).
1/2 ── P chemin PP : 1/2 × 1/2 = 1/4
1/2 ── P
1/2 ── F chemin PF : 1/4
Départ
1/2 ── P chemin FP : 1/4
1/2 ── F
1/2 ── F chemin FF : 1/4
p(obtenir exactement une fois pile) = p(PF) + p(FP) = 1/4 + 1/4 = 1/2.
La somme des probabilités de toutes les branches partant d’un même nœud vaut toujours 1.
Fréquence et probabilité
Quand on répète une expérience un très grand nombre de fois, la fréquence d’un événement se rapproche de sa probabilité : c’est la stabilisation des fréquences.
- Sur 10 lancers d’une pièce, on peut obtenir 7 piles (fréquence 0,7).
- Sur 10 000 lancers, la fréquence de pile sera très proche de 0,5.
- La probabilité se rapporte au modèle ; la fréquence à l’observation.
Mémo — Probabilités
- Équiprobabilité : p = favorables ÷ possibles. Dé : p(pair) = 3/6 = 1/2.
- 0 ≤ p ≤ 1 ; p = 0 impossible ; p = 1 certain.
- Contraire : p(non A) = 1 − p(A).
- Arbre à deux épreuves : probabilité d’un chemin = produit des probabilités des branches.
- La somme des probabilités issues d’un même nœud vaut 1.
- Fréquence ≈ probabilité quand on répète l’expérience un grand nombre de fois.
- Piège : « au moins un » se calcule souvent avec l’événement contraire (« aucun »).
Exercices — Probabilités
Exercice 1
Une urne contient 3 boules rouges, 5 boules vertes et 2 boules bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.
- Quelle est la probabilité de tirer une boule verte ?
- Quelle est la probabilité de ne pas tirer une boule bleue ?
Correction
1) p(verte) = 5/10 = 1/2. 2) p(bleue) = 2/10 = 1/5, donc p(non bleue) = 1 − 1/5 = 4/5.
Exercice 2
On lance un dé équilibré à 6 faces. Calcule :
- p(obtenir un multiple de 3)
- p(obtenir au plus 4)
Correction
1) Multiples de 3 : 3 et 6, donc p = 2/6 = 1/3. 2) Issues favorables : 1, 2, 3, 4, donc p = 4/6 = 2/3.
Exercice 3
On lance deux fois de suite une pièce équilibrée. À l’aide d’un arbre, calcule la probabilité d’obtenir deux fois face.
Correction
Chaque lancer : p(F) = 1/2. Le chemin FF a pour probabilité 1/2 × 1/2 = 1/4.
Exercice 4 — Type brevet
Un sac contient des jetons : 4 jaunes, 6 noirs. On tire un jeton, on le remet, puis on tire un second jeton.
- Quelle est la probabilité de tirer un jeton jaune au premier tirage ?
- Construis un arbre et calcule la probabilité de tirer deux jetons jaunes.
- Calcule la probabilité de tirer au moins un jeton noir.
Correction
1) p(J) = 4/10 = 0,4. 2) Avec remise, les tirages sont identiques : p(JJ) = 0,4 × 0,4 = 0,16. 3) « Au moins un noir » est le contraire de « deux jaunes » : p = 1 − 0,16 = 0,84.
Évaluation — Probabilités
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Question 1
Cours — Théorème de Thalès
Le théorème de Thalès
Soient deux droites (d) et (d’) sécantes en A. B et M sont deux points de (d) distincts de A ; C et N deux points de (d’) distincts de A.
Si les droites (BC) et (MN) sont parallèles, alors :
AM/AB = AN/AC = MN/BC
Deux configurations possibles :
Configuration « triangle »
M est sur le segment [AB] et N sur [AC] : le petit triangle AMN est emboîté dans le grand triangle ABC.
Configuration « papillon »
M et N sont de l’autre côté de A : les deux triangles se croisent en A, comme les ailes d’un papillon.
Calculer une longueur
Exemple : dans le triangle ABC, M ∈ [AB], N ∈ [AC], (MN) ∥ (BC). On donne AM = 3 cm, AB = 5 cm, BC = 7 cm. Calculer MN.
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, et (MN) ∥ (BC). D'après le théorème de Thalès : AM AN MN 3 MN -- = -- = -- donc - = -- AB AC BC 5 7 MN = (3 × 7) ÷ 5 = 21 ÷ 5 = 4,2 cm
On utilise le produit en croix pour trouver la longueur manquante.
La réciproque du théorème de Thalès
La réciproque sert à démontrer que deux droites sont parallèles.
Si les points A, M, B d’une part et A, N, C d’autre part sont alignés dans le même ordre, et si AM/AB = AN/AC, alors les droites (MN) et (BC) sont parallèles.
Exemple : AM = 2, AB = 5, AN = 2,4, AC = 6. On calcule séparément : AM/AB = 2/5 = 0,4 et AN/AC = 2,4/6 = 0,4. Les quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre, donc (MN) ∥ (BC).
Si les quotients sont différents, les droites ne sont pas parallèles.
Agrandissement et réduction
Dans une configuration de Thalès, le triangle AMN est une réduction (ou un agrandissement) du triangle ABC de rapport k = AM/AB.
- Toutes les longueurs sont multipliées par k.
- Les angles sont conservés.
- Les aires sont multipliées par k².
Exemple : si k = 3/5 = 0,6, une aire de 25 cm² dans le grand triangle correspond à 25 × 0,6² = 25 × 0,36 = 9 cm² dans le petit.
Mémo — Théorème de Thalès
- Conditions : droites sécantes en A + (MN) ∥ (BC).
- Égalité de Thalès : AM/AB = AN/AC = MN/BC.
- Deux configurations : triangle (emboîtée) et papillon (croisée).
- Calculer une longueur : écrire l’égalité, remplacer, produit en croix.
- Réciproque : quotients AM/AB et AN/AC égaux + points alignés dans le même ordre ⟹ (MN) ∥ (BC).
- Rapport k = AM/AB : longueurs × k, aires × k².
- Piège au brevet : toujours citer les hypothèses (sécantes en A, parallélisme) avant d’écrire l’égalité.
Exercices — Théorème de Thalès
Exercice 1
Dans un triangle ABC, M ∈ [AB] et N ∈ [AC] avec (MN) ∥ (BC). On donne AM = 4 cm, AB = 10 cm et AC = 15 cm. Calcule AN.
Correction
D’après le théorème de Thalès : AM/AB = AN/AC, soit 4/10 = AN/15. Donc AN = (4 × 15) ÷ 10 = 6 cm.
Exercice 2 — Configuration papillon
Les droites (BM) et (CN) sont sécantes en A, avec (MN) ∥ (BC). On donne AB = 8 cm, AM = 6 cm, BC = 12 cm. Calcule MN.
Correction
D’après le théorème de Thalès : AM/AB = MN/BC, soit 6/8 = MN/12. Donc MN = (6 × 12) ÷ 8 = 9 cm.
Exercice 3 — Réciproque
Sur la droite (d), les points A, M, B sont alignés dans cet ordre avec AM = 3 cm et AB = 7,5 cm. Sur la droite (d’), les points A, N, C sont alignés dans le même ordre avec AN = 4 cm et AC = 10 cm. Les droites (MN) et (BC) sont-elles parallèles ?
Correction
AM/AB = 3/7,5 = 0,4 et AN/AC = 4/10 = 0,4. Les quotients sont égaux et les points sont alignés dans le même ordre : d’après la réciproque du théorème de Thalès, (MN) ∥ (BC).
Exercice 4 — Type brevet
Pour mesurer la hauteur d’un arbre, Nour plante un bâton vertical de 1,5 m à 4 m du pied de l’arbre. En se plaçant à 2 m derrière le bâton, son œil au sol (point A) voit le sommet du bâton et le sommet de l’arbre alignés. Calcule la hauteur de l’arbre.
Correction
Le bâton et l’arbre sont verticaux, donc parallèles. Les distances au point A : bâton à 2 m, arbre à 2 + 4 = 6 m. D’après le théorème de Thalès : hauteur de l’arbre ÷ 1,5 = 6 ÷ 2 = 3. La hauteur de l’arbre est 1,5 × 3 = 4,5 m.
Évaluation — Théorème de Thalès
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Question 1
Cours — Trigonométrie
Vocabulaire du triangle rectangle
Dans un triangle rectangle, on repère trois côtés par rapport à un angle aigu choisi :
- L’hypoténuse : le côté le plus long, en face de l’angle droit (elle ne dépend pas de l’angle choisi).
- Le côté opposé : celui qui est en face de l’angle choisi.
- Le côté adjacent : celui qui touche l’angle choisi sans être l’hypoténuse.
Cosinus, sinus, tangente
Pour un angle aigu â d’un triangle rectangle :
| Rapport | Formule | Moyen mnémotechnique |
|---|---|---|
| cosinus | cos â = adjacent ÷ hypoténuse | CAH |
| sinus | sin â = opposé ÷ hypoténuse | SOH |
| tangente | tan â = opposé ÷ adjacent | TOA |
SOH — CAH — TOA : Sinus = Opposé/Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent/Hypoténuse ; Tangente = Opposé/Adjacent.
cos et sin sont toujours compris entre 0 et 1 (l’hypoténuse est le plus grand côté).
Calculer une longueur
Exemple : ABC rectangle en A, angle Ĉ = 30°, hypoténuse BC = 12 cm. Calculer AB (côté opposé à Ĉ).
Le côté opposé à l'angle C et l'hypoténuse sont concernés : on utilise le sinus (SOH). sin C = AB ÷ BC sin 30° = AB ÷ 12 AB = 12 × sin 30° AB = 12 × 0,5 = 6 cm
Méthode : repérer les deux côtés concernés (connu et cherché), choisir le bon rapport, écrire l’équation, isoler l’inconnue. Calculatrice en mode degrés !
Calculer un angle
Quand on connaît deux côtés, on retrouve l’angle avec les touches cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹ (arccos, arcsin, arctan) de la calculatrice.
Triangle rectangle : opposé = 5 cm, adjacent = 8 cm. tan â = 5 ÷ 8 = 0,625 â = tan⁻¹(0,625) ≈ 32°
- cos 60° = 0,5 ; sin 30° = 0,5 ; tan 45° = 1 : valeurs utiles à connaître.
- Les deux angles aigus d’un triangle rectangle sont complémentaires : leur somme vaut 90°.
Bien choisir le rapport
| Côtés concernés | Rapport à utiliser |
|---|---|
| adjacent et hypoténuse | cosinus |
| opposé et hypoténuse | sinus |
| opposé et adjacent | tangente |
Astuce : souligner l’angle utilisé, entourer les deux côtés de l’énoncé, puis lire SOH-CAH-TOA.
Mémo — Trigonométrie
- SOH-CAH-TOA : sin = opposé/hypoténuse ; cos = adjacent/hypoténuse ; tan = opposé/adjacent.
- Valable uniquement dans un triangle rectangle, pour un angle aigu.
- L’hypoténuse est en face de l’angle droit ; l’opposé en face de l’angle choisi ; l’adjacent touche l’angle.
- 0 < cos â < 1 et 0 < sin â < 1 ; la tangente peut dépasser 1.
- Longueur : écrire le rapport, puis produit en croix.
- Angle : utiliser cos⁻¹, sin⁻¹ ou tan⁻¹. Calculatrice en mode degrés.
- Valeurs à connaître : cos 60° = 0,5 ; sin 30° = 0,5 ; tan 45° = 1.
Exercices — Trigonométrie
Exercice 1
Dans le triangle DEF rectangle en E, on considère l’angle D̂. Nomme pour cet angle : l’hypoténuse, le côté opposé, le côté adjacent.
Correction
L’angle droit est en E, donc l’hypoténuse est [DF]. Pour l’angle D̂ : le côté opposé est [EF] (en face de D) et le côté adjacent est [DE].
Exercice 2
ABC est rectangle en A, avec B̂ = 40° et BC = 10 cm. Calcule AB, arrondi au dixième. (cos 40° ≈ 0,766)
Correction
AB est adjacent à B̂ et BC est l’hypoténuse : on utilise le cosinus. cos 40° = AB ÷ 10, donc AB = 10 × cos 40° ≈ 10 × 0,766 ≈ 7,7 cm.
Exercice 3
Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle â mesure 6 cm et le côté adjacent 9 cm. Calcule la mesure de â, arrondie au degré.
Correction
tan â = 6 ÷ 9 ≈ 0,667. Donc â = tan⁻¹(0,667) ≈ 34°.
Exercice 4 — Type brevet
Une échelle de 6 m est appuyée contre un mur. Pour la sécurité, l’angle entre l’échelle et le sol doit mesurer 75°.
- À quelle hauteur du mur l’échelle arrive-t-elle ? (sin 75° ≈ 0,966)
- À quelle distance du mur se trouve le pied de l’échelle ? (cos 75° ≈ 0,259)
Correction
Le mur, le sol et l’échelle forment un triangle rectangle dont l’hypoténuse est l’échelle (6 m). 1) hauteur = 6 × sin 75° ≈ 6 × 0,966 ≈ 5,8 m. 2) distance = 6 × cos 75° ≈ 6 × 0,259 ≈ 1,6 m.
Évaluation — Trigonométrie
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Question 1
Cours — Transformations du plan
Rappels : symétries, translation, rotation
| Transformation | Définie par | Image d’une figure |
|---|---|---|
| Symétrie axiale | une droite (l’axe) | figure « retournée » comme dans un miroir |
| Symétrie centrale | un point (le centre) | figure retournée d’un demi-tour |
| Translation | un « glissement » (direction, sens, longueur) | figure déplacée sans tourner |
| Rotation | un centre, un angle, un sens | figure tournée autour du centre |
Ces quatre transformations conservent les longueurs, les angles et les aires : la figure image est superposable à la figure de départ.
L’homothétie
L’homothétie de centre O et de rapport k transforme un point M en un point M’ tel que M’ est sur la droite (OM) et OM’ = k × OM (avec un changement de côté si k est négatif).
k > 1
Agrandissement : la figure s’éloigne du centre et grossit. Ex. : k = 3, toutes les longueurs sont triplées.
0 < k < 1
Réduction : la figure se rapproche du centre et rétrécit. Ex. : k = 1/2, toutes les longueurs sont divisées par 2.
Si k est négatif, l’image se trouve de l’autre côté du centre O (la figure est en plus « retournée », comme après une symétrie centrale). L’homothétie de rapport −1 est exactement la symétrie centrale de centre O.
Une homothétie de rapport k multiplie les longueurs par |k| et les aires par k². Elle conserve les angles et l’alignement, mais pas les longueurs (sauf si k = 1 ou −1).
Effets sur les longueurs et les aires
| Rapport k | Longueurs | Aires |
|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 |
| 3 | × 3 | × 9 |
| 1/2 | × 0,5 | × 0,25 |
| −2 | × 2 (côté opposé) | × 4 |
Exemple : un triangle d’aire 8 cm² a pour image, par une homothétie de rapport 3, un triangle d’aire 8 × 9 = 72 cm².
Reconnaître une transformation
- La figure a glissé sans tourner ni changer de taille : translation.
- La figure a tourné autour d’un point : rotation (un demi-tour = symétrie centrale).
- La figure est reflétée par rapport à une droite : symétrie axiale.
- La figure a changé de taille (mais garde sa forme) : homothétie.
Dans les pavages et les frises, on retrouve souvent des translations et des symétries répétées.
Mémo — Transformations du plan
- Symétrie axiale (droite), symétrie centrale (point), translation (glissement), rotation (centre + angle + sens) : conservent longueurs, angles, aires.
- Homothétie : centre O, rapport k ; OM’ = k × OM sur la droite (OM).
- k > 1 : agrandissement ; 0 < k < 1 : réduction ; k < 0 : image de l’autre côté du centre.
- Homothétie : longueurs × |k|, aires × k², angles conservés.
- Homothétie de rapport −1 = symétrie centrale.
- Piège : ne pas confondre l’effet sur les longueurs (× k) et sur les aires (× k²).
Exercices — Transformations du plan
Exercice 1
Pour chaque situation, indique la transformation utilisée :
- Une figure a glissé de 5 carreaux vers la droite sans tourner.
- Une figure a tourné de 90° autour d’un point.
- Une figure a été agrandie, toutes ses longueurs ont doublé depuis un point fixe.
Correction
1) Une translation. 2) Une rotation de 90°. 3) Une homothétie de rapport 2.
Exercice 2
Par l’homothétie de centre O et de rapport 3, le point M vérifie OM = 4 cm. À quelle distance de O se trouve l’image M’ ? Même question pour un rapport de 1/2, puis de −2.
Correction
Rapport 3 : OM’ = 3 × 4 = 12 cm (même côté que M). Rapport 1/2 : OM’ = 2 cm. Rapport −2 : OM’ = 8 cm, mais M’ est de l’autre côté de O.
Exercice 3
Un rectangle a un périmètre de 20 cm et une aire de 24 cm². Quels sont le périmètre et l’aire de son image par une homothétie de rapport 3 ?
Correction
Les longueurs sont multipliées par 3 : périmètre = 20 × 3 = 60 cm. Les aires sont multipliées par 3² = 9 : aire = 24 × 9 = 216 cm².
Exercice 4 — Type brevet
Sur une figure, le triangle A’B’C’ est l’image du triangle ABC par une homothétie de centre O. On donne OA = 3 cm, OA’ = 7,5 cm et AB = 4 cm, A et A’ étant du même côté de O.
- Détermine le rapport k de l’homothétie.
- Calcule A’B’.
- L’aire de ABC vaut 6 cm². Quelle est celle de A’B’C’ ?
Correction
1) k = OA’ ÷ OA = 7,5 ÷ 3 = 2,5. 2) A’B’ = 2,5 × 4 = 10 cm. 3) Aire = 6 × 2,5² = 6 × 6,25 = 37,5 cm².
Évaluation — Transformations du plan
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1
Cours — Aires et volumes
Formules d’aires et de volumes à connaître
| Figure / solide | Formule |
|---|---|
| Aire du disque | A = π × r² |
| Périmètre du cercle | P = 2 × π × r |
| Volume du pavé droit | V = L × l × h |
| Volume du cylindre | V = π × r² × h |
| Volume du cône | V = (π × r² × h) ÷ 3 |
| Volume de la pyramide | V = (aire de la base × h) ÷ 3 |
Sphère et boule
La sphère de centre O et de rayon r est l’ensemble des points situés à la distance r de O (la « surface »). La boule est l’intérieur, sphère comprise.
Aire de la sphère : A = 4 × π × r²
Volume de la boule : V = (4/3) × π × r³
Boule de rayon r = 3 cm : V = (4/3) × π × 3³ = (4/3) × π × 27 = 36π ≈ 113,1 cm³
Attention aux unités : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³.
Sections de solides
- Pavé droit coupé par un plan parallèle à une face : la section est un rectangle identique à cette face.
- Cylindre coupé parallèlement aux bases : la section est un disque de même rayon. Coupé parallèlement à l’axe : un rectangle.
- Cône ou pyramide coupés parallèlement à la base : la section est une réduction de la base (petit disque ou petit polygone).
- Sphère coupée par un plan : la section est un cercle (le plus grand possible quand le plan passe par le centre).
Pour un cône coupé à mi-hauteur, le rapport de réduction est k = 1/2 : le rayon de la section vaut la moitié du rayon de base.
Agrandissement et réduction : effet sur aires et volumes
Dans un agrandissement / une réduction de rapport k : les longueurs sont multipliées par k, les aires par k², les volumes par k³.
| Rapport k | Longueurs | Aires | Volumes |
|---|---|---|---|
| 2 | × 2 | × 4 | × 8 |
| 3 | × 3 | × 9 | × 27 |
| 1/2 | × 0,5 | × 0,25 | × 0,125 |
Exemple : une pyramide de volume 54 cm³ coupée parallèlement à la base au tiers de sa hauteur (depuis le sommet) donne une petite pyramide de rapport k = 1/3, donc de volume 54 × (1/3)³ = 54 ÷ 27 = 2 cm³.
Mémo — Aires et volumes
- Sphère : A = 4πr². Boule : V = (4/3)πr³.
- Cylindre : V = πr²h. Cône : V = πr²h ÷ 3. Pyramide : V = (base × h) ÷ 3.
- Sections : cylindre ∥ base → disque ; cône ∥ base → disque réduit ; sphère → cercle.
- Réduction de rapport k : longueurs × k, aires × k², volumes × k³.
- k = 1/2 : volume divisé par 8. k = 2 : volume multiplié par 8.
- Unités : 1 L = 1 dm³ = 1 000 cm³ ; 1 m³ = 1 000 L.
- Piège : ne pas oublier de diviser par 3 pour cône et pyramide.
Exercices — Aires et volumes
Exercice 1
Calcule le volume exact (en fonction de π), puis arrondi au cm³, d’une boule de rayon 6 cm.
Correction
V = (4/3) × π × 6³ = (4/3) × π × 216 = 288π ≈ 905 cm³.
Exercice 2
Une balle de tennis a un rayon d’environ 3,3 cm. Calcule l’aire de sa surface, arrondie au cm².
Correction
A = 4 × π × 3,3² = 4 × π × 10,89 = 43,56π ≈ 137 cm².
Exercice 3
Un cône a un volume de 81 cm³. On le coupe par un plan parallèle à sa base passant au tiers de sa hauteur en partant du sommet. Quel est le volume du petit cône obtenu ?
Correction
Le petit cône est une réduction de rapport k = 1/3. Son volume est 81 × (1/3)³ = 81 ÷ 27 = 3 cm³.
Exercice 4 — Type brevet
Un glacier vend des glaces dans des cônes de rayon 3 cm et de hauteur 10 cm, surmontés d’une demi-boule de même rayon.
- Calcule le volume du cône (arrondi au cm³).
- Calcule le volume de la demi-boule (arrondi au cm³).
- La glace entière peut-elle contenir plus de 150 cm³ ?
Correction
1) V = π × 3² × 10 ÷ 3 = 30π ≈ 94 cm³. 2) V = (1/2) × (4/3) × π × 3³ = 18π ≈ 57 cm³. 3) Total ≈ 94 + 57 = 151 cm³ (exactement 48π ≈ 150,8 cm³) : oui, légèrement plus de 150 cm³.
Évaluation — Aires et volumes
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Question 1
Cours — Algorithmique et programmation
Algorithme, programme, variables
Un algorithme est une suite d’instructions, exécutées dans l’ordre, qui permet de résoudre un problème. Un programme est la traduction d’un algorithme dans un langage compris par l’ordinateur (Scratch, Python…).
Une variable est une « boîte » nommée qui contient une valeur pouvant changer pendant l’exécution.
mettre [score] à 0
répéter jusqu'à ce que la partie soit finie
si le joueur attrape une pièce alors
ajouter 1 à [score]
« mettre score à 5 » remplace la valeur ; « ajouter 1 à score » augmente la valeur existante.
Boucles, conditions, événements
| Structure | En Scratch | À quoi ça sert |
|---|---|---|
| Boucle répéter n fois | « répéter 4 fois » | répéter un nombre connu de fois (tracer un carré) |
| Boucle infinie | « répéter indéfiniment » | animation, jeu qui tourne en continu |
| Condition | « si … alors … sinon » | choisir entre deux actions selon un test |
| Événement | « quand le drapeau vert est cliqué » | déclencher un script |
Tracer un carré de côté 100 : répéter 4 fois [avancer de 100 ; tourner de 90°]. Pour un triangle équilatéral : répéter 3 fois [avancer de 100 ; tourner de 120°] — l’angle est l’angle extérieur (360° ÷ nombre de côtés).
Blocs personnalisés et fonctions
En Scratch, on peut créer un bloc personnalisé (par exemple « carré de côté n ») réutilisable : c’est l’équivalent d’une fonction. On évite ainsi de recopier plusieurs fois les mêmes instructions.
- Le bloc reçoit un paramètre (la longueur n du côté).
- On l’appelle plusieurs fois avec des valeurs différentes : carré de côté 50, carré de côté 80…
Programmes de calcul et lien avec les fonctions
Un programme de calcul enchaîne des opérations : « choisir un nombre, le multiplier par 3, ajouter 1 ». Il correspond à la fonction f(x) = 3x + 1.
demander "Choisis un nombre" et attendre mettre [x] à (réponse) mettre [resultat] à (3 × x + 1) dire (resultat)
Tester un programme de calcul avec plusieurs valeurs permet de conjecturer, et le calcul littéral permet de démontrer.
Initiation à Python
Python est un langage en texte. Voici le programme de calcul précédent :
x = float(input("Choisis un nombre : "))
resultat = 3 * x + 1
print(resultat)
- x = 5 : affectation (la variable x reçoit 5).
- if … : / else : : condition ; for i in range(4) : : boucle répétée 4 fois.
- print(...) : afficher ; input(...) : demander une valeur.
En programmation, le signe = n’est pas une égalité mathématique : c’est une affectation (« reçoit la valeur »). Ainsi « x = x + 1 » signifie « augmenter x de 1 ».
Mémo — Algorithmique et programmation
- Algorithme = suite ordonnée d’instructions ; programme = algorithme écrit dans un langage.
- Variable = boîte nommée ; « mettre à » remplace, « ajouter à » augmente.
- Boucle : répéter n fois / répéter indéfiniment. Condition : si … alors … sinon.
- Événement : « quand le drapeau vert est cliqué » lance le script.
- Polygone régulier à n côtés : répéter n fois [avancer ; tourner de 360° ÷ n].
- Programme de calcul « × 3 puis + 1 » ⟺ fonction f(x) = 3x + 1.
- Python : x = 5 (affectation), print (afficher), input (saisir), for / if.
- Piège : pour un triangle équilatéral, on tourne de 120° (angle extérieur), pas de 60°.
Exercices — Algorithmique et programmation
Exercice 1
On exécute le script Scratch suivant : « mettre x à 4 ; ajouter 3 à x ; mettre x à x × 2 ». Quelle est la valeur finale de x ?
Correction
x = 4, puis x = 4 + 3 = 7, puis x = 7 × 2 = 14.
Exercice 2
Écris (en français ou en pseudo-Scratch) un script qui trace un hexagone régulier de côté 60.
Correction
Répéter 6 fois : [avancer de 60 ; tourner de 60°]. En effet, l’angle de rotation est 360° ÷ 6 = 60°.
Exercice 3
Un programme de calcul : « choisir un nombre ; le multiplier par 2 ; ajouter 5 ».
- Quel résultat obtient-on avec 7 ?
- Exprime le résultat pour un nombre x. Quelle fonction ce programme définit-il ?
- Quel nombre faut-il choisir pour obtenir 25 ?
Correction
1) 7 × 2 + 5 = 19. 2) R = 2x + 5 : c’est la fonction affine f(x) = 2x + 5. 3) On résout 2x + 5 = 25 : 2x = 20, donc x = 10.
Exercice 4 — Type brevet
On considère le programme Python :
x = int(input("Nombre ? "))
if x > 10 :
print("grand")
else :
print("petit")
- Qu’affiche ce programme si l’utilisateur saisit 15 ? Et s’il saisit 8 ?
- Qu’affiche-t-il pour 10 ? Pourquoi ?
Correction
1) Pour 15 : la condition 15 > 10 est vraie, le programme affiche « grand ». Pour 8 : la condition est fausse, il affiche « petit ». 2) Pour 10 : 10 > 10 est faux (l’inégalité est stricte), donc il affiche « petit ».
Évaluation — Algorithmique et programmation
Une question à la fois : la note apparaît après 20 réponses et se calcule sur les 20 dernières.
Question 1